Ba điểm thẳng hàng - Bốn điểm đồng phẳng

Thứ năm - 04/02/2016 15:51
Điều kiện để ba điểm thẳng hàng trong không gian. Điều kiện để bốn điểm không đồng phẳng trong không gian.
Ba điểm thẳng hàng. Trong không gian $Oxyz$, ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng nếu $ \overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} $ cùng phương.

Ví dụ 1. Trong không gian $Oxyz$ chứng minh rằng ba điểm $A\left( {1;3;1} \right),B\left( {0;1;2} \right),C\left( {3;7; - 1} \right)$ thẳng hàng.
Giải. Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 2;1} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {2;4; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC}  =  - 2\overrightarrow {AB}  \Rightarrow \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} $ cùng phương. Suy ra $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.
 
Bốn điểm đồng phẳng. Trong không gian $Oxyz$, bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ đồng phẳng nếu ba vector $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} $ đồng phẳng.

Ví dụ 2.  Chứng minh bốn điểm $A\left( {1; - 1;1} \right),B\left( {1;3;1} \right),C\left( {4;3;2} \right),D\left( {4;1;3} \right)$ không đồng phẳng.
Giải. Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( {0;4;0} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {3;4;1} \right),\overrightarrow {AD}  = \left( {3;2;2} \right).$ Giả sử $A$, $B$, $C$, $D$ đồng phẳng, khi đó $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} $ cũng đồng phẳng. Suy ra tồn tại hai số thực $x$ và $y$ sao cho
$$\overrightarrow {AB}  = x\overrightarrow {AC}  + y\overrightarrow {AD}  \Leftrightarrow \left( {0;4;0} \right) = x\left( {3;4;1} \right) + y\left( {3;2;2} \right)$$

$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x + 3y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
4x + 2y = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\
x + 2y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)
\end{array} \right.$$
Từ $\left( 1 \right)\& \left( 2 \right) \Rightarrow x = 2,y =  - 2.$ Tuy nhiên hai giá trị này không thoả mãn $\left( 3 \right)$ $ \Rightarrow $ hệ vô nghiệm.
Vậy $A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng

 
Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 1 trong 1 đánh giá

Xếp hạng: 1 - 1 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật