Đối xứng của một điểm qua mặt phẳng

Thứ sáu - 05/02/2016 23:13
Đối xứng một điểm qua một mặt. Tìm toạ điểm đối xứng của một điểm qua một mặt.
Hình 1. Đối xứng của điểm qua mặt

Đối xứng của một điểm qua mặt phẳng. Để tìm toạ độ điểm $M'$ là đối xứng của điểm $M$ qua mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ ta tiến hành các bước sau

Bước 1. Tìm hình chiếu $H$ của điểm $M$ lên mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$;
Bước 2. Tìm toạ độ điểm $M'$ sao cho $H$ là trung điểm của $MM'$. $$\left\{ \begin{array}{l}
{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M}\\
{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M}\\
{z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M}
\end{array} \right.$$

 


Ví dụ. Tìm toạ độ điểm $M'$ là đối xứng của điểm của $M\left( {2;1;3} \right)$ qua mặt phẳng $\left( \alpha  \right):x - y + z - 1 = 0.$
 

 
Giải. Bước 1: Tìm toạ độ hình chiếu $H$ của điểm $M$ lên $(\alpha)$.
Gọi $d$ là đường thẳng qua $M$ và vuông góc với
$\left( \alpha  \right)$. Ta có ${\vec u_d} = {\vec n_\alpha } = \left( {1; - 1;1} \right).$
Phương trình đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + t\\
y = 1 - t\\
z = 3 + t
\end{array} \right..$

Thay $x = 2 + t,y = 1 - t,z = 3 + t$ vào phương trình của $(\alpha)$ ta được $$2 + t - \left( {1 - t} \right) + 3 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1.$$ Thay $t=-1$ vào phương trình của $d$ ta được $x = 1;y = 2;z = 2.$
Vậy hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( {2;1;3} \right)$ lên mặt phẳng $\left( \alpha  \right) $ là $H\left( {1;2;2} \right).$

Bước 2: Áp dụng công thức trung điểm để tìm toạ độ của điểm $M'$.

Vì $H$ là trung điểm của $MM'$ nên ta có $$\left\{ \begin{array}{l} {x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = 0\\ {y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = 3\\ {z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {0;3;1} \right).$$

 
Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 31 trong 8 đánh giá

Xếp hạng: 3.9 - 8 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật