Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Thứ sáu - 05/02/2016 20:11
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian.
Góc giữa hai đường thẳng. Góc $\varphi$ giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$, ký hiệu $\left( {{d_1},{d_2}} \right)$, được định nghĩa như sau
 
Hình 1
gocgiuahaiduongthang 2
Hình 2












 
Trong đó ${\vec u_1} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\;\;{\vec u_2} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)$ lần lượt là vector pháp tuyến của $d_1$ và $d_2$ và $\alpha$ là góc tạo bởi ${{\vec u}_1},{{\vec u}_2}$. Như vậy $\varphi $ và $\alpha $ hoặc bằng nhau như ở hình 1,  hoặc bù nhau như ở hình 2.
 
Ta lưu ý rằng $0 \leqslant \varphi  \leqslant {90^0}$, trong khi đó $0 \leqslant \alpha  \leqslant {180^0}.$
 
Công thức tính góc hơp bởi hai đường thẳng. Góc $\varphi$ giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ được tính theo công thưc $$\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {{{\vec u}_1} \cdot {{\vec u}_2}} \right)} \right| = \frac{{\left| {{{\vec u}_1} \cdot {{\vec u}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec u}_2}} \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}  \cdot \sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}.$$
trong đó ${{\vec u}_1}$ và ${{\vec u}_2}$ là các vector chỉ phương.
Ví dụ. Tính góc hợp bởi hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 1 + 2t\\
y = 2 + 2t\\
z =  - 2
\end{array} \right.$ và $\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 1 + \sqrt 2 t\\
y = 2 + \sqrt 2 t\\
z =  - 2 + 2t
\end{array} \right..$
Giải. Ta có các vector chỉ phương của hai đường thẳng là ${\vec u_1} = \left( {2;2;0} \right),{\vec u_2} = \left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 ;2} \right)$. Suy ra $$ \cos \varphi  = \left| {\cos \left( {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right)} \right| = \frac{{\left| {{{\vec u}_1} \cdot {{\vec u}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec u}_2}} \right|}} = \frac{{\left| {2.\sqrt 2  + 2.\sqrt 2  + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {0^2}}  \cdot \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {2^2}} }} = \sqrt 2  \Rightarrow \varphi  = {45^o}.$$
 
Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 9 trong 2 đánh giá

Xếp hạng: 4.5 - 2 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật