Góc giữa hai mặt phẳng

Thứ năm - 04/02/2016 23:49
Góc giữa hai mặt phẳng. Góc giữa hai vector pháp tuyến của mặt phẳng. Xác định góc giữa hai vector mặt phẳng bằng toạ độ vector pháp tuyến. Công thức tính góc hợp bởi hai mặt phẳng.
Góc giữa hai mặt phẳng. Góc $\varphi$ giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$, ký hiệu $\varphi  = \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)$, được định nghĩa như sau
Hình 1
Hình 2

















Trong đó ${\vec n_P},{\vec n_Q}$ lần lượt là vector pháp tuyến của $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$ và $\alpha$ là góc tạo bởi ${\vec n_P}$ và ${\vec n_Q}$. Như vậy $\varphi$ và $\alpha$ hoặc bù nhau như ở hình 1,  hoặc bằng nhau như ở hình 2.

Ta lưu ý rằng $0 \leqslant \varphi  \leqslant {90^0}$, trong khi đó
$0 \leqslant \alpha  \leqslant {180^0}.$


Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng.
$$\cos \varphi  = \left| {\cos \alpha } \right| = \frac{{\left| {{{\vec n}_P} \cdot {{\vec n}_Q}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_P}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_Q}} \right|}} = \frac{{\left| {{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}} \right|}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2}  \cdot \sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}.$$


Ví dụ. Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + z + 4 = 0$ và $\left( Q \right): - x + y + 2z + 3 = 0.$

 
Giải. Ta có ${\vec n_P} = \left( {1;2;1} \right),{\vec n_Q} = \left( { - 1;1;2} \right)$. Suy ra $$\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {{{\vec n}_P},{{\vec n}_Q}} \right)} \right| = \frac{{\left| {{{\vec n}_P} \cdot {{\vec n}_Q}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_P}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_Q}} \right|}} = \frac{{\left| {1\left( { - 1} \right) + 2.1 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi  = {60^o}.$$
 
Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 4 trong 3 đánh giá

Xếp hạng: 1.3 - 3 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật