Hai đường thẳng cắt nhau

Thứ năm - 04/02/2016 16:58
Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian. Hai đường thẳng cắt nhau. Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau. Xác định toạ độ giao điểm của hai đường thẳng.
Hình 1. Hai đường thẳng cắt nhau
Hai đường thẳng cắt nhau. Trong không gian cho hai đường thẳng
$d_1$ đi qua điểm $M_1$ và có vector chỉ phương ${\vec u_1}.$
$d_2$ đi qua điểm $M_2$ và có vector chỉ phương ${\vec u_2}.$
Khi đó $d_1$ cắt $d_2$ tương đương với các mệnh đề sau

$\left( i \right)$    $d_1$ cắt $d_2$ tại duy nhất một điểm;
$\left( ii \right)$    hệ phương trình lập nên từ phương trình của $d_1$ và $d_2$ có một nghiệm duy nhất;
$\left( iii \right)$    $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}$ đồng phẳng, tương đương tích hỗn tạp bằng 0; và ${{\vec u}_1},{{\vec u}_2}$ không cùng phương, nghĩa là toạ độ không tỷ lệ.

 
Ví dụ 1. Chứng minh đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{gathered}
  x = 1 + t \hfill \\
  y = 1 - 2t \hfill \\
  z = 3 - 3t \hfill \\
\end{gathered}  \right.$ và $\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 2t'\\
y =  - 1 - t'\\
z = 3t'
\end{array} \right.$ cắt nhau và tìm giao điểm của chúng.
Giải. Cách 1: dùng mệnh đề $\left( b \right)$: $d_1$ cắt $d_2$ khi hệ sau có nghiệm duy nhất $$\left(  *  \right){\rm{  }}\left\{ \begin{array}{l}
1 + t = 2 + 2t'\\
1 - 2t =  - 1 - t'\\
3 - 3t = 3t'
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t - 2t' = 1{\rm{       }}\left( 1 \right)\\
2t - t' = 2{\rm{      }}\left( 2 \right)\\
3t + 3t' = 3{\rm{     }}\left( 3 \right)
\end{array} \right.$$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $t = 1,t' = 0$, hai giá trị này thoả $\left( 3 \right)$. Suy ra $t = 1,t' = 0$ là nghiệm duy nhất của hệ $\left( * \right)$. Thay $t = 1$ vào phương trình của $d_1$ ta được $x = 2,y =  - 1,z = 0 \Rightarrow M\left( {2; - 1;0} \right) = {d_1} \cap {d_2}.$

Cách 2: dùng mệnh đề $\left( c \right)$:
Ta có ${\vec u_{{d_1}}} = \left( {1; - 2; - 3} \right),{\vec u_{{d_2}}} = \left( {2; - 1;3} \right)$ $\Rightarrow \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right] = \left( { - 9; - 9;3} \right).$
Chọn ${M_1}\left( {1;1;3} \right) \in {d_1},{M_2}\left( {2; - 1;0} \right) \in {d_2}.$
$$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( {1; - 2; - 3} \right).\\
 \Rightarrow \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}}  =  - 9 \cdot 1 - 9 \cdot \left( { - 2} \right) + 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 0.
\end{array}$$
Suy ra $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,$ ${\vec u_{{d_1}}},{\vec u_{{d_2}}}$ đồng phẳng.
Mặt khác $\vec u_{{d_1}}$ không cùng phương với $\vec u_{{d_2}}$ vì toạ độ không tỷ lệ $\frac{1}{2} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 1}}.$ Vậy $d_1$ cắt $d_2$.

Nhận xét. Cách 1 vẫn tỏ ra hiệu quả hơn vì ngắn gọn hơn và cho ra luôn toạ độ giao điểm.
 
Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 3 trong 2 đánh giá

Xếp hạng: 1.5 - 2 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật