Hai đường thẳng chéo nhau

Thứ sáu - 05/02/2016 19:18
Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian. Hai đường thẳng chéo nhau. Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng.
Hình 1. Hai đường thẳng chéo nhau
Hai đường thẳng chéo nhau.  Trong không gian cho hai đường thẳng
$d_1$ đi qua điểm $M_1$ và có vector chỉ phương ${\vec u_1}.$
$d_2$ đi qua điểm $M_2$ và có vector chỉ phương ${\vec u_2}.$
Khi đó $d_1$ và $d_2$ chéo nhau tương đương với các mệnh đề sau

$\left( i \right)$  $\left\{ \begin{array}{l} {d_1} \cap {d_2} = \emptyset \\ {{\vec u}_1}\not \parallel {{\vec u}_2} \end{array} \right.$

$\left( ii \right)$  $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,$ ${\vec u_1},{\vec u_2}$ không đồng phẳng, nghĩa là tích hỗn tạp khác $0$.

 
Mệnh đề. Nếu hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ chéo nhau thì tồn tại một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Ví dụ 1. Chứng minh hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 5 - 2t\\
z = 14 - 3t
\end{array} \right.$ và $\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = 9 - 4t'\\
y = 1 + t'\\
z =  - 1 + 5t'
\end{array} \right.$ chéo nhau.

 
Giải. Cách 1: Dùng mệnh đề $\left( i \right)$:
 


 
Hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ chéo nhau khi hệ sau vô nghiệm  $$\left(  *  \right){\rm{  }}\left\{ \begin{array}{l} t = 9 - 4t'\\ 5 - 2t = 1 + t'\\ 14 - 3t =  - 1 + 5t' \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t + 4t' = 9{\rm{               }}\left( 1 \right)\\ 2t + t' = 4{\rm{               }}\left( 2 \right)\\ 3t + 5t' = 15{\rm{            }}\left( 3 \right) \end{array} \right.$$ Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta suy ra $t = 1,t' = 2$, hai giá trị này không thoả $\left( 3 \right)$ nên hệ $\left( * \right)$ vô nghiệm. Suy ra $d_1$ và $d_2$ không có điểm chung. Đến đây ta suy ra hai đường thẳng này chéo nhau hoặc song song nhau, ta chỉ cần loại bỏ trường hợp thứ 2.

Mặt khác vector chỉ phương ${\vec u_{{d_1}}} = \left( {1; - 2; - 3} \right),{\vec u_{{d_2}}} = \left( { - 4;1;5} \right)$ không song song nhau vì $\frac{1}{{ - 4}} \ne \frac{{ - 2}}{1}.$ Suy ra $d_1$ và $d_2$  không song song. 
Vậy $d_1$ và $d_2$  chéo nhau.
 
Cách 2: Dùng mệnh đề $\left( ii \right)$:


 
 
Ta có $\left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right] = \left( { - 7;7;-7} \right).$ Chọn ${M_1}\left( {0; 5;14} \right) \in {d_1},{M_2}\left( {9;1;-1} \right) \in {d_2}.$ Suy ra $$\begin{array}{l}  \Rightarrow \overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( {9; - 4; - 15} \right).\\  \Rightarrow \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}}  =  - 7 \cdot 9 + \left( { - 4} \right) \cdot 7 + \left( { - 15} \right) \cdot \left( { - 7} \right) = 14 \ne 0. \end{array}$$
Suy ra $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,$ ${\vec u_1},{\vec u_2}$ không đồng phẳng, nghĩa là $d_1$ và $d_2$ chéo nhau.
 
Bài tập 


(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 15 trong 3 đánh giá

Xếp hạng: 5 - 3 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật