Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng

Thứ bảy - 06/02/2016 02:20
Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng trong không gian. Cách tìm hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng trong không gian.
Hình 1. Hình chiếu của đường lên mặt
Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng. Để tìm hình chiếu $\Delta$ của đường thẳng $d$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ ta tiến hành các bước sau

Bước 1. Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ chứa $d$ và vuông góc với $\left( P \right)$. Cặp vector chỉ phương của $\left( P \right)$ là ${\vec n_P}$ và ${\vec u_d}.$

Bước 2. Viết phương trình đường thẳng $\Delta  = \left( \alpha  \right) \cap \left( P \right).$

 
Ví dụ. Cho $\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - t\\
y = 2 + 2t\\
z =  - 1 - t
\end{array} \right.$ và  $\left( P \right):x - y + z - 1 = 0.$ 

Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$.

 

 
Giải. Bước 1. Gọi $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $\left( P \right)$. Cặp vector chỉ phương của $\left( \alpha \right)$ là ${\vec u_d} = \left( { - 1;2; - 1} \right),{\vec n_P} = \left( {1; - 1;1} \right)$. Suy ra ${\vec n_\alpha } = \left[ {{{\vec u}_d},{{\vec n}_P}} \right] = \left( {1;0 - 1} \right).$ Chọn $M\left( {1;2; - 1} \right) \in d \subset \left( \alpha  \right).$

Phương trình của mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là $\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 2} \right) - 1\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - z - 2 = 0.$

Bước 2. Hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\Delta  = \left( \alpha  \right) \cap \left( P \right).$

Do đó phương trình tổng quát của $\Delta$ là $\left( \Delta  \right):\left\{ \begin{array}{l}
x - y + z - 1 = 0\\
x - z - 2 = 0
\end{array} \right..$

Từ đây ta có cặp vector pháp tuyến của $\Delta$ là ${\vec n_1} = \left( {1, - 1;1} \right),{\vec n_2} = \left( {1,0; - 1} \right) \Rightarrow {\vec u_\Delta } = \left[ {{{\vec n}_1},{{\vec n}_2}} \right] = \left( {1;2;1} \right).$
Từ phương trình tổng quát của $\Delta$ ta thay $x = 0 \Rightarrow y =  - 3,z =  - 2 \Rightarrow A\left( {0; - 3; - 2} \right) \in \Delta .$

Suy ra phương trình tham số của $\Delta$ là $$\left( \Delta  \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y =  - 3 + 2t\\
z =  - 2 + t
\end{array} \right..$$

 
Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
 

 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 33 trong 7 đánh giá

Xếp hạng: 4.7 - 7 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật