Hình chiếu vuông góc của một điểm lên đường thẳng

Thứ bảy - 06/02/2016 01:54
Hình chiếu vuông góc của một điểm lên đường thẳng trong không gian. Cách tìm hình chiếu của một điểm lên đường thẳng trong không gian.
Hình 1. Hình chiếu của điểm lên đường thẳng
Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng. Để tìm hình chiếu $H$ của điểm $M$ lên đường thẳng $d$ ta tiến hành các bước sau

Bước 1. Viết phương trình của đường thẳng $d$ ở dạng tham số $$\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + at\\
y = {y_0} + bt\\
z = {z_0} + ct
\end{array} \right.$$

Bước 2. Điểm $H \in d$ nên $H\left( {{x_0} + at,{y_0} + bt,{z_0} + ct} \right).$

Bước 3. Từ điều kiện $\overrightarrow {MH}  \bot {\vec u_d} \Leftrightarrow \overrightarrow {MH}  \cdot {\vec u_d} = 0$ ta lập phương trình và giải tìm $t$, thay vào phương trình của $d$ ta được toạ độ điểm $H$.


Ví dụ. Tìm toạ độ hình chiếu $H$ của điểm $M\left( {1;1;3} \right)$ lên đường thẳng $\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - t\\
y = 2 + 2t\\
z =  - 1 - t
\end{array} \right..$

 
 

Giải. Vì $H \in d \Rightarrow H\left( {1 - t;2 + 2t; - 1 - t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MH}  = \left( { - t;1 + 2t; - 4 - t} \right).$ Mặt khác ${\vec u_d} = \left( { - 1;2; - 1} \right).$
$$\overrightarrow {MH}  \bot {\vec u_d} \Leftrightarrow \overrightarrow {MH}  \cdot {\vec u_d} = 0 \Leftrightarrow \left( { - t} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + \left( {1 + 2t} \right) \cdot 2 + \left( { - 4 - t} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t =  - 1.$$
Thay $t =  - 1$ vào phương trình của $d$ ta được $x =  2;y = 0;z = 0.$
Vậy toạ độ hình chiếu $H$ của điểm $M$ lên đường thẳng $\left( d \right)$ là $H\left( { 2;0;0} \right).$

 
Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
 

 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 21 trong 5 đánh giá

Xếp hạng: 4.2 - 5 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật