Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Thứ năm - 04/02/2016 22:46
Hai mặt phẳng cắt nhau. Hai mặt phẳng song song. Hai mặt phẳng vuông góc.
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. Cho hai mặt phẳng:
 
$\left( {{P_1}} \right):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0$ có vector pháp tuyến là ${\vec n_1} = \left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right)$;
$\left( {{P_2}} \right):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0.$ có vector pháp tuyến là ${\vec n_2} = \left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right).$

 
Khi đó có $3$ trường hợp xảy ra
 
$\left( {{P_1}} \right) \equiv \left( {{P_2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}} = \frac{{{D_1}}}{{{D_2}}};$
$\left( {{P_1}} \right)//\left( {{P_2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}} \ne \frac{{{D_1}}}{{{D_2}}},$
$\left( {{P_1}} \right)$ cắt $\left( {{P_2}} \right) \Leftrightarrow {A_1}:{B_1}:{C_1} \ne {A_2}:{B_2}:{C_2},$
Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right):2x + 3y - z + 5 = 0$ và $\left( {{P_2}} \right):4x + 6y + 2z + 10 = 0.$
 
Giải. Các vector pháp tuyến của $\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)$ lần lượt là ${{\vec n}_1} = \left( {2;3; - 1} \right),{{\vec n}_2} = \left( {4;6;2} \right)$. Tỷ lệ toạ độ của hai vector này như sau $$\frac{2}{4} = \frac{3}{6} \ne \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow {\vec n_1}$$ Suy ra $\left( {{P_1}} \right)$ cắt $\left( {{P_2}} \right)$.
 
Hai mặt phẳng vuông góc. Cho hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)$ lần lượt có vector pháp tuyến là ${\vec n_1} = \left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right)$ và ${\vec n_2} = \left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right).$ Khi đó
$$\left( {{P_1}} \right) \bot \left( {{P_2}} \right) \Leftrightarrow {{\vec n}_1} \bot {{\vec n}_2} \Leftrightarrow {{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2} = 0.$$

Ví dụ 2. Tìm $m$ để hai mặt phẳng $\left( P \right):2x - my + 3z - 6 + m = 0$ và $\left( Q \right):\left( {m + 3} \right)x - y + \left( {m + 1} \right)z - 10 = 0.$ vuông góc nhau.
Giải. Vector pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là ${{\vec n}_1} = \left( {2; - m;3} \right),{{\vec n}_2} = \left( {m + 3; - 1;m + 1} \right).$.
$$\displaylines{
  \left( {{P_1}} \right) \bot \left( {{P_2}} \right) \Leftrightarrow {{\vec n}_1} \bot {{\vec n}_2} \Leftrightarrow {{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2} = 0 \Leftrightarrow 2\left( {m + 3} \right) + \left( { - m} \right)\left( { - 1} \right) + 3\left( {m + 1} \right) = 0 \cr
   \Leftrightarrow 6m + 9 = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{3}{2}. \cr} $$

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật