Bất đẳng thức trung bình QM⩾AM⩾GM⩾HM cho ba số

Chủ nhật - 21/02/2016 05:16
Bất đẳng thức trung bình cho ba số. Bất đẳng thức trung bình cộng. Bất đẳng thức trung bình nhân. Bất đẳng thức Cosi.
Bất đẳng thức trung bình. Cho ba số thực dương $a,b,c$. Đặt $$QM = \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}} ,\;\;\;\;\;AM = \frac{{a + b + c}}{3},\;\;\;\;\;GM = \sqrt[3]{{abc}},\;\;\;\;\;HM = \frac{3}{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}}$$ Khi đó ta có dãy các bất đẳng thức $\hbox{(BĐT)}$ $QM \geqslant AM \geqslant GM \geqslant HM$.
Dấu $=$ ở tất cả các $\hbox{(BĐT)}$ trên xảy ra khi $a=b=c$.
 
Chứng minh. Chứng minh tương tự cho trường  hợp $2$ số, học sinh xem ở đây.
 
Ví dụ 1. Cho ba số dương $x,y,z$. Chứng minh rằng $$\left( {x + \frac{1}{y}} \right)\left( {y + \frac{1}{z}} \right)\left( {z + \frac{1}{x}} \right) \geqslant 8.$$
Giải. Áp dụng $\hbox{(BĐT)}$ $AM \geqslant GM$ cho hai số ta có $$x + \frac{1}{y} \geqslant 2\sqrt {\frac{x}{y}} ,\;\;\;\;y + \frac{1}{z} \geqslant 2\sqrt {\frac{y}{z}} ,\;\;\;\;z + \frac{1}{x} \geqslant 2\sqrt {\frac{z}{x}} .$$ Suy ra $$\left( {x + \frac{1}{y}} \right)\left( {y + \frac{1}{z}} \right)\left( {z + \frac{1}{x}} \right) \geqslant 2\sqrt {\frac{x}{y}}  \cdot 2\sqrt {\frac{y}{z}}  \cdot 2\sqrt {\frac{z}{x}}  = 8.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\square $$ Dấu $=$ xảy ra khi $x = \frac{1}{y},\;y = \frac{1}{z},\;z = \frac{1}{x}.$ Nghĩa là, $x = y = z = 1.$
 
Ví dụ 2. Cho ba số dương $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z = 1$. Chứng minh rằng $$\frac{{xy}}{z} + \frac{{yz}}{x} + \frac{{zx}}{y} \geqslant 1.$$
Giải. Ta có $$\left( {\frac{{xy}}{z} + \frac{{yz}}{x} + \frac{{zx}}{y}} \right) = \frac{1}{2}\underbrace {\left( {\frac{{xy}}{z} + \frac{{yz}}{x}} \right)}_{ \geqslant 2y} + \frac{1}{2}\underbrace {\left( {\frac{{yz}}{x} + \frac{{zx}}{y}} \right)}_{ \geqslant 2z} + \frac{1}{2}\underbrace {\left( {\frac{{xy}}{z} + \frac{{zx}}{y}} \right)}_{ \geqslant 2x} \geqslant x + y + z = 1.\;\;\;\;\;\;\;\;\square $$ Dấu $=$ xảy ra khi $x = y = z = \frac{1}{3}.$
 
Ví dụ 3. Cho ba số dương $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z = 1$. Chứng minh rằng $$xy + yz + zx \geqslant 9xyz.$$
Giải. Áp dụng $\hbox{(BĐT)}$ $AM \geqslant GM$ cho ba số ta có $$\left( {xy + yz + zx} \right)\left( {x + y + z} \right) \geqslant 3\root 3 \of {\left( {xy} \right)\left( {yz} \right)\left( {zx} \right)}  \cdot 3\root 3 \of {xyz}  = 9xyz.$$ Dấu $=$ xảy ra khi $x = y = z = \frac{1}{3}.$

 
 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật