Bất đẳng thức trung bình QM⩾AM⩾GM⩾HM cho hai số

Thứ bảy - 06/02/2016 12:01
Bất đẳng thức trung bình cộng. Bất đẳng thức trung bình nhân. Bất đẳng thức cô si.
Bất đẳng thức trung bình. Cho hai số thực dương $a,b$. Đặt $$QM = \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}} ,\;\;\;\;\;AM = \frac{{a + b}}{2},\;\;\;\;\;GM = \sqrt {ab} ,\;\;\;\;\;HM = \frac{2}{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}}.$$ Khi đó ta có dãy các bất đẳng thức (BĐT) $QM \geqslant AM \geqslant GM \geqslant HM$.$^{\left[ 1 \right]}$
Dấu $=$ ở tất cả các BĐT trên xảy ra khi $a=b$.
 
Chứng minh. Ta có
$QM \geqslant AM \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \geqslant {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \geqslant \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}{4} \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} \geqslant 0.\;\;\;\square $
$AM \geqslant GM \Leftrightarrow a + b \geqslant 2\sqrt {ab}  \Leftrightarrow {\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \geqslant 0.\;\;\;\square $
$GM \geqslant HM \Leftrightarrow \sqrt {ab}  \geqslant \frac{{2ab}}{{a + b}} \Leftrightarrow 1 \geqslant \frac{{2\sqrt {ab} }}{{a + b}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{AM \geqslant GM} a + b \geqslant 2\sqrt {ab} \;\;\square $

 
Chú ý. $AM \geqslant GM$ là BĐT Cô-si quen thuộc, hay còn gọi là BĐT trung bình cộng $ \geqslant $ trung bình nhân.

Ví dụ 1. Chứng minh BĐT $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant 2,\;\;\;\forall a,b > 0.$
Giải. Áp dụng bất đẳng thức $AM \geqslant GM$ cho hai số dương $\frac{a}{b}$ và $\frac{b}{a}$ ta có $$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant 2\sqrt {\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}}  = 2\;\;\;\;\;\;\square $$ Dấu $=$ xảy ra khi $\frac{a}{b} = \frac{b}{a} \Leftrightarrow a = b.$
 
Ví dụ 2. Chứng minh BĐT $\frac{{a + b}}{c} + \frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b} \geqslant 6,$ với mọi $a,b,c > 0.$
Giải. Ta có $$VT = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b} = \mathop {\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)}\limits_{}  + \left( {\frac{b}{c} + \frac{c}{b}} \right) + \left( {\frac{c}{a} + \frac{a}{c}} \right)\mathop  \geqslant \limits^{AM \geqslant GM} 2 + 2 + 2 = VP.$$ Dấu $=$ xảy ra khi $\frac{a}{b} = \frac{b}{a};\;\;\frac{b}{c} = \frac{c}{b};\;\;\frac{c}{a} = \frac{a}{c} \Leftrightarrow a = b = c.$
 
Ví dụ 3. Chứng minh BĐT $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geqslant \frac{4}{{a + b}}$, với mọi $a,b > 0.$
Giải. Do $AM \geqslant HM \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{2} \geqslant \frac{2}{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}} \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geqslant \frac{4}{{a + b}}.\;\;\;\;\;\;\square $.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b$

 
Ví dụ 4. ${a^3} + {b^3} \geqslant ab\left( {a + b} \right)$, với mọi $a,b > 0.$
Giải. Ta có $${a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right)\mathop  \geqslant \limits^{AM \geqslant GM} \left( {a + b} \right)\left( {2ab - ab} \right) = ab\left( {a + b} \right)\;\;\;\;\;\;\;\square $$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b$.

 
Ví dụ 5. Chứng minh BĐT ${a^2} + ab + {b^2} \geqslant 0,$ với mọi $a,b > 0.$
Giải. ${a^2} + ab + {b^2} = {a^2} + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + \frac{{{b^2}}}{4} + \frac{{3{b^2}}}{4} = {\left( {a + \frac{b}{2}} \right)^2} + \frac{{3{b^2}}}{4} \geqslant 0.\;\;\;\;\;\;\square $
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{gathered}
  a + \frac{b}{2} = 0 \hfill \\
  b = 0 \hfill \\
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow a = b = 0.$

 
Ví dụ 6. Chứng minh BĐT ${a^4} + {b^4} \geqslant {a^3}b + a{b^3},$ với mọi $a,b > 0.$
Giải. Ta có ${a^4} - {a^3}b + {b^4} - a{b^3} = {a^3}\left( {a - b} \right) + {b^3}\left( {b - a} \right) = \left( {a - b} \right)\left( {{a^3} - {b^3}} \right) = {\left( {a - b} \right)^2}\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right).$ Theo ví dụ 5 thì ${a^2} + ab + {b^2} \geqslant 0$. Từ đây suy ra biểu thức trên luôn $\geqslant 0$. Nghĩa là $${a^4} - {a^3}b + {b^4} - a{b^3} \geqslant 0 \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} \geqslant {a^3}b + {a^3}b.\;\;\;\;\;\;\square $$ Đẳng thức xảy ra khi $a=b$.
 
 
 

$^{\left[ 1 \right]}$ $QM:quadratic{\text{ }}mean,AM:arithmetic{\text{ }}mean,GM:geometric{\text{ }}mean,HM:{\text{ }}harmonic{\text{ }}mean.$

 

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 1 trong 1 đánh giá

Xếp hạng: 1 - 1 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật