Các bất đẳng thức cơ bản

Thứ bảy - 06/02/2016 11:05
Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ.
 Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ. Các bất đẳng thức $\hbox{(BĐT)}$ sau đây thường hay dùng để chứng minh các $\hbox{BĐT}$ khác. Do đó, trong suốt chuyên đề này, các kết quả này sẽ được dùng mà không chứng minh lại, bạn đọc xem lại các chứng minh ở  đây.

$\left( a \right)\;\;\;\;\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant 2,\;\;\forall a,b \in {\mathbb{R}^ + }.$ Dấu $=$ xảy ra khi $a=b$;
$\left( b \right)\;\;\;\;{a^2} + {b^2} + {c^2} \geqslant ab + bc + ba,\;\;\;\forall a,b,c \in \mathbb{R}.$ Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$;.

 
Ví dụ 1. Chứng minh $\hbox{BĐT}$ $3\left( {ab + bc + ca} \right) \leqslant {\left( {a + b + c} \right)^2}.\;\;\;\;\;\left( 1 \right)$.
Giải. Ta sẽ dùng $\hbox{BĐT}$ $\left( b \right)$ để chứng minh. Ta có $${\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca\mathop  \geqslant \limits^{\left( b \right)} ab + bc + ca + 2ab + 2bc + 2ca = 3\left( {ab + bc + ca} \right).$$
Ví dụ 2. Chứng minh $\hbox{BĐT}$ ${\left( {a + b + c} \right)^2} \leqslant 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right),\forall a,b \in \mathbb{R}.\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)$
Giải. Ta có $$VT\left( 2 \right) = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\mathop  \leqslant \limits^{\left( b \right)} {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = VP\left( 3 \right)\;\;\;\;\;\square $$.
Dấu $=$ xảy ra khi đẳng thức ở $\left( b \right)$ xảy ra, tức là $a=b=c$.

 
Ví dụ 3. Chứng minh $\hbox{BĐT}$ ${a^4} + {b^4} + {c^4} \geqslant abc\left( {a + b + c} \right),\;\;\;\forall a,b,c \in \mathbb{R}.\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 3 \right)$.
Giải. $$\begin{gathered}
  VT\left( 3 \right) = {\left( {{a^2}} \right)^2} + {\left( {{b^2}} \right)^2} + {\left( {{c^2}} \right)^2}\mathop  \geqslant \limits^{\left( b \right)} {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} = {\left( {ab} \right)^2} + {\left( {bc} \right)^2} + {\left( {ca} \right)^2} \hfill \\
  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathop  \geqslant \limits^{\left( b \right)} abbc + bcca + caab = abc\left( {a + b + c} \right) = VP\left( 3 \right)\;\;\;\;\;\;\square  \hfill \\
\end{gathered} $$
Đẳng thức xảy ra khi đẳng thức ở $\left( b \right)$ xảy ra, tức là $a=b=c$.
 
Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
 

 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 17 trong 5 đánh giá

Xếp hạng: 3.4 - 5 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật