Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

Thứ bảy - 06/02/2016 21:15
Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức. Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ.
Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức $\hbox{(BĐT)}$. Khi chứng minh các bất đẳng thức, ta hay dùng các tính chất sau
$\left( a \right)\;\;\;\;\left\{ \begin{gathered}
  x \geqslant y \hfill \\
  y \geqslant z \hfill \\
\end{gathered}  \right. \Rightarrow x \geqslant z,\;\;\;\forall x,y,z \in \mathbb{R}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( b \right)\;\;\;\;\left\{ \begin{gathered}
  x \geqslant y \hfill \\
  a \geqslant b \hfill \\
\end{gathered}  \right. \Rightarrow x + a \geqslant y + b,\;\;\;\forall x,y,a,b \in \mathbb{R}.$
$\left( c \right)\;\;\;\;x \geqslant y \Rightarrow x + z \geqslant y + z,\;\;\;\forall x,y,z \in \mathbb{R}.\;\;\;\left( d \right)\;\;\;\;\left\{ \begin{gathered}
  x \geqslant y \hfill \\
  a \geqslant b \hfill \\
\end{gathered}  \right. \Rightarrow xa \geqslant yb,\;\;\;\forall x,y \in \mathbb{R},\;\;\;a,b \in {\mathbb{R}^ + }.$
$\left( e \right)\;\;\;{x^2} \geqslant 0,\;\;\;\forall x \in \mathbb{R}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {e'} \right)\;\;\;{A_1}x_1^2 + {A_2}x_2^2 + ... + {A_n}x_n^2 \geqslant 0,\;\forall x \in \mathbb{R},{A_i} \in {\mathbb{R}^ + }.$

Chú ý. $\left( {e'} \right)$ là tính chất hay dùng nhất, và dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi  ${x_1} = {x_2} = ... = {x_n} = 0.$

Để chứng minh BĐT, ta thường hay dùng các tính chất trên để biến đổi BĐT cần chứng minh về một điều hiển nhiên đúng.
Ví dụ 1. Chứng minh với mọi số thực $x \ne 0$ ta luôn có $x + \frac{1}{x} \geqslant 2.\;\;\;\;\;\left( 1 \right)$
Giải. Ta có $$
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 1}}{x} \geqslant 2 \Leftrightarrow {x^2} + 1 \geqslant 2x \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \geqslant 0.$$
BĐT cuối cùng hiển nhiên đúng. Như vậy ta đã chứng minh xong BĐT $\left( 1 \right)$.
Theo tính chất $\left( 5' \right)$ thì dấu bằng của $\left( 1 \right)$ xảy ra khi $x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1.$

 
Ví dụ 2. Chứng minh bất đẳng thức $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant 2,\;\;\forall a,b \in {\mathbb{R}^ + }.\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)$
Giải. Ta có $$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant 2 \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab}} \geqslant 2 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \geqslant 2ab \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab \geqslant 0 \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} \geqslant 0.$$
Điều này luôn đúng với mọi, do đó BĐT $\left( 2 \right)$ xem như được chứng minh xong. Dấu $=$ xảy ra khi $a - b \Leftrightarrow a = b.$

 
Ví dụ 3. Chứng minh bất đẳng thức ${a^2} + {b^2} + 1 \geqslant 2a,\;\;\;\forall a,b \in \mathbb{R}.\;\;\;\;\;\;\;\left( 3 \right)$
Giải. Ta có ${a^2} + {b^2} + 1 \geqslant 2a \Leftrightarrow {a^2} - 2a + 1 + {b^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} \geqslant 0.$
BĐT cuối cùng luôn đúng, do đó $\left( 3 \right)$ được chứng minh xong. Dấu $=$ xảy ra khi $\left\{ \begin{gathered}
  a - 1 = 0 \hfill \\
  b = 0 \hfill \\
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  a = 1 \hfill \\
  b = 0 \hfill \\
\end{gathered}  \right..$
Ví dụ 4. Chứng minh bất đẳng thức ${a^2} + {b^2} + {c^2} \geqslant ab + bc + ba,\;\;\;\forall a,b,c \in \mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\left( 4 \right).$ 
Giải. Nhân hai vế của $\left( 4 \right)$ cho $2$ ta được $$\begin{gathered}
  2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} \geqslant 2ab + 2bc + 2ba \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ac + {a^2}} \right) \geqslant 0 \hfill \\
  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \geqslant 0. \hfill \\
\end{gathered} $$
BĐT cuối cùng luôn đúng, dấu $=$ xảy ra khi $\left\{ \begin{gathered}
  a - b = 0 \hfill \\
  b - c = 0 \hfill \\
  c - a = 0 \hfill \\
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow a = b = c.$

 
Ví dụ 5. Chứng minh bất đẳng thức ${a^3} + {b^3} \geqslant {a^2}b + a{b^2}\;\;\;\forall a \geqslant 0,b \geqslant 0.\;\;\;\;\;\;\left( 5 \right)$
Giải. Ta có $$\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) \geqslant ab\left( {a + b} \right) \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left[ {\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) - ab} \right] \geqslant 0 \Leftrightarrow \left( {a + b} \right){\left( {a - b} \right)^2} \geqslant 0.$$
Vì $a \geqslant 0,b \geqslant 0$ nên $a + b \geqslant 0$. Suy ra BĐT cuối cùng luôn đúng, nghĩa là ta đã chứng minh xong BĐT $\left( 5 \right)$. Dấu $=$ xảy ra khi $a - b = 0 \Leftrightarrow a = b.$

 
Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 4 trong 1 đánh giá

Xếp hạng: 4 - 1 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật