Phép thử và biến cố

Thứ ba - 26/01/2016 09:18
Phép thử. Biến cố. Biến cố ngẫu nhiên. Biến cố bất khả. Biến cố chắc chắn. Biến cố hợp. Biến cố giao. Biến cố sơ cấp. Biến cố đối.

Phép thử. Mỗi phép thử là một thí nghiệm, và mỗi kết quả của thí nghiệm là một biến cố.

Ví d 1. Thực hiện phép thử là tung một đồng xu đồng chất hai mặt, các biến cố có thể xảy ra là:

  • Xuất hiện mặt sắp;
  • Xuất hiện mặt ngữa.

Ví dụ 2. Thực hiện phép thử là tung một con xúc xác 6 mặt.
 
5-4-2015 8-18-03 PM

Các biến cố có thể xảy ra là:

 
  • $ {{A}_{1}}$: Xuất hiện mặt 1 chấm;
  • $ {{A}_{2}}$: Xuất hiện mặt 2 chấm;
  • $ {{A}_{3}}$: Xuất hiện mặt 3 chấm;
  • $ {{A}_{4}}$: Xuất hiện mặt 4 chấm;
  • $ {{A}_{5}}$: Xuất hiện mặt 5 chấm;
  • $ {{A}_{6}}$: Xuất hiện mặt 6 chấm;
  • $ A$: Xuất hiện mặt có số chấm chẵn;
  • $ B$: Xuất hiện mặt có cố chấm lẻ;
  • $ C$: Xuất hiện mặt có cố chấm $ \ge 4.$;
  • $ D$: Xuất hiện mặt có cố chấm $ \le 3.$;
  • $ E$: Xuất hiện mặt có số chấm $ \ge 1.$
  • $ F$: Xuất hiện mặt có số chấm $ \ge 7.$

Biến c chc chn là biến cố chắc chắn xảy ra trong phép thử. Biến cố chắc chắn được ký hiệu là $ \Omega .$

Ví d 3. Trong Ví dụ 2 thì biến cố $ E$ là biến cố chắc chắn.

Biến c bất khả là biến cố không thể xảy ra trong phép thử. Biến cố không thể ký hiệu là $ \varnothing .$

Ví d 4. Trong Ví dụ 2 thì biến cố $ F$ là biến cố bất khả. 

Biến c ngu nhiên là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy tra trong phép thử. Người ta thường dùng các chữ cái in hoa như $ A,B,...,{{A}_{1}},{{B}_{1}},...$ để ký hiệu cho các biến cố ngẫu nhiên.

Ví d 5. Trong Ví dụ 2 thì các biến cố $ {{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{6}},A,B,C,D$ là các biến cố ngẫu nhiên.

Biến c hợp của hai biến cố $ A$ và $ B$, ký hiệu $ A\cup B$, là biến cố được xác định như sau

 
$ A\cup B$ xảy ra $ \Leftrightarrow $ $ A$ xảy ra hoặ$ B$ xảy ra.

Ví d 6. Trong Ví dụ 2 ta có:
  • $ {{A}_{1}}=\left\{ 1 \right\},{{A}_{2}}=\left\{ 2 \right\},{{A}_{3}}=\left\{ 3 \right\},{{A}_{4}}=\left\{ 4 \right\},{{A}_{5}}=\left\{ 5 \right\},{{A}_{6}}=\left\{ 6 \right\}.$
  • $ A={{A}_{2}}\cup {{A}_{4}}\cup {{A}_{6}}=\left\{ 2,4,6 \right\}.$
  • $ B={{A}_{1}}\cup {{A}_{3}}\cup {{A}_{5}}=\left\{ 1,3,5 \right\}.$
  • $ D={{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}\cup {{A}_{3}}=\left\{ 1,2,3 \right\}.$
  • $ E={{A}_{1}}\cup ...\cup {{A}_{6}}=\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}.$
  • $ F=\varnothing .$

Ví dụ 7. Trong Ví dụ 2 ta có:
  • $ A\cup B=C\cup D=E=\Omega .$
  • $ A\cup C=\left\{ 2,4,5,6 \right\}.$
  • $ A\cup D=\left\{ 1,2,3,4,6 \right\}.$

Biến c giao của hai biến cố $ A$ và $ B$, ký hiệu $ A\cap B$, là biến cố được xác định như sau
 
$ A\cap B$ xảy ra $ \Leftrightarrow $ $ A$ xảy ra và $ B$ xảy ra.

Ví d 8. Trong Ví dụ 2 ta có:
 
  • $ A\cap B=C\cap D=\varnothing .$
  • $ A\cap C=\left\{ 4,6 \right\}.$
  • $ B\cap D=\left\{ 1,3 \right\}.$

Biến c sơ cp là biến cố khác biến cố $ \varnothing $ và không thể phân tích thành tổng của hai biến cố ngẫu nhiên khác.

Ví d 9. Trong Ví dụ 2 thì
  • Các biến cố $ {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},{{A}_{4}},{{A}_{5}},{{A}_{6}}$ là các biến cố sơ cấp.
  • Biến cố $ A$ không phải là biến cố sơ cấp vì có sự phân tích $ A={{A}_{2}}\cup {{A}_{4}}\cup {{A}_{6}}$.
  • $ F=\varnothing $ nên $ F$ cũng không phải là biến cố sơ cấp.


Mọi biến cố ngẫu nhiên $ A$ bất kỳ đều có thể phân tích thành tổng của các biến cố sơ cấp, và khi đo ta gọi đó là các biến cố sơ cấp thuận lợi cho $ A$. Chẳng hạn, ở Ví dụ 2 vì ta có sự phân tích $ A={{A}_{2}}\cup {{A}_{4}}\cup {{A}_{6}}$ nên sẽ có 3 biến cố sơ cấp thuận lợi cho $ A$ là $ {{A}_{2}},{{A}_{4}},{{A}_{6}}.$

Hai biến c xung khc. Hai biến cố $ A$ và $ B$ được gọi là xung khắc nhau nếu chúng không thể đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử. Tương đương với 
$A \cap B = \emptyset .$

Ví d 10. Trong Ví dụ 2 ta có các cặp biến cố sau đây là xung khắc nhau: $ A$ và $ B$, $ C$ và $ D$.

Ví d 11. Vì 
$A \cap \emptyset  = \emptyset $ với mọi biến cố $ A$ nên biến cố $ \varnothing $ xung khắc với mọi biến cố.

Biến c đối của biến cố $ A$, ký hiệu $ \overline{A}$, là biến cố được xác định như sau

$ \overline{A}$ xảy ra $ \Leftrightarrow $ $ A$ không xảy ra.


Ví d 12. Trong Ví dụ 2 ta có $ \overline{A}=B,\overline{C}=D,\overline{E}=F.$

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 5 trong 1 đánh giá

Xếp hạng: 5 - 1 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật   

Những tin mới hơn

Những tin cũ hơn