Xác suất có điều kiện

Thứ ba - 02/02/2016 07:24
Hai biến cố độc lập nhau. Xác suất có điều kiện.
Xác sut có điu kin. Xác suất của biến cố $  A$ với điều kiện $  B$ đã xảy ra rồi, ký hiệu là $  P\left( A/B \right).$

 Ví dụ 1.  Thực hiện phép thử là tung con xúc sắc đồng chất 6 mặt. Gọi các biến cố

 
  • $  M:$ xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
  • $  A:$ xuất hiện mặt có số chấm < 4.
  • $  B:$ xuất hiện mặt có số chấm >2.
  • $  C:$ xuất hiện mặt có số chấm <2.

Tất cả các biến cố sơ cấp trong phép thử này là $  {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},{{A}_{4}},{{A}_{5}},{{A}_{6}}.$
Ta sẽ tính $  P\left( A/M \right),P\left( B/M \right),P\left( C/M \right).$

Khi biến cố $M$ xảy ra, không gian tất cả các biến cố sơ cấp thu hẹp lại còn 3 biến cố $  {{A}_{2}},{{A}_{4}},{{A}_{6}}.$ Trong ba biến cố này chỉ có biến cố sơ cấp $  {{A}_{2}}$ thuận lợi cho $  A$, $  {{A}_{4}},{{A}_{6}}$ thuận lợi cho $  B$, và không có biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho $  C$.

Như vậy, sau khi phép thử đã bị thu hẹp thì
$$  P\left( A/M \right)=\frac{1}{3};P\left( B/M \right)=\frac{2}{3};P\left( C/M \right)=\frac{0}{3}=0.$$

Hai biến c độc lp. Nếu $  P\left( A/M \right)=P\left( A \right)$ thì ta nói biến cố $  A$ độc lập với biến cố $  M$. Nghĩa là sự có mặt của biến cố $  M$ không làm thay đổi xác suất xảy ra của biên cố  $  A$.

Ví dụ 2. Ở Ví dụ 1 ta có $  P\left( B \right)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}=P\left( B/M \right).$ Như vậy biến cố $  B$ độc lập với biến cố $  M$. Còn các biến cố $B$ và $C$ không độc lập với biến cố $M$.

Ví dụ 3. Có hai hội bi: hộp I gồm có 6 bi đỏ và 4 bi trắng; hộp II gồm có 7 bi đỏ và 3 bi trắng. Rút ra từ mỗi hộp 3 bi. Xét hai biến cố
$A:$ rút được 2 bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp I;
$B:$ rút được 1 bi đỏ và 2 bi trắng từ hộp II. 
Tính xác suất có điều kiện $P\left( {A/B} \right)$, $P\left( {B/A} \right)$.
 
Giải. Hiển nhiên là việc rút được ở hộp II bi màu gì chẳng có ảnh hưởng gì đến hộp I, và ngược lại. Do đó hai biến $A$ và $B$ ở trong ví dụ này là độc lập nhau. Do vậy ta dễ dàng tính xác suất có điều kiện
 
$$\eqalign{
  & P\left( {A/B} \right) = P\left( A \right) = \frac{{C_6^2 \cdot C_4^1}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{2};  \cr 
  & P\left( {B/A} \right) = P\left( B \right) = \frac{{C_7^1 \cdot C_3^2}}{{C_{10}^3}} = \frac{7}{{40}}. \cr} $$

Ví dụ 4. Có hai hội bi: hộp I gồm có 6 bi đỏ và 4 bi trắng; hộp II gồm có 7 bi đỏ và 3 bi trắng. Rút ra từ mỗi hộp 3 bi bỏ sang hộp II, rồi từ hộp II rút ra 3 bi. Tính xác suất có điều kiện $P\left( {B/A} \right)$, với 
$A:$ rút được 2 bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp I;
$B:$ rút được 1 bi đỏ và 2 bi trắng từ hộp II. 

 
Giải. Số lượng bi đỏ và trắng của hộp II sẽ thay đổi tuỳ thuộc vào $3$ bi từ hộp I bỏ sang là màu gì. Do vậy, biến cố $B$ không độc lập với biến cố $A$. Nếu $A$ xảy ra, thì hộp II có $13$ bi, trong đó có 9 bi đỏ và 4 bi trắng. Như vậy xác suất của biến cố $B$ với điều kiện $A$ đã xảy ra là 
$$P\left( {B/A} \right) = \frac{{C_9^1 \cdot C_4^2}}{{C_{13}^3}} = \frac{{27}}{{143}}.$$

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 2 trong 1 đánh giá

Xếp hạng: 2 - 1 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật   

Những tin mới hơn

Những tin cũ hơn