Các định lý so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với số $\alpha$

Thứ hai - 06/06/2016 16:31
Các định lý so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với số $\alpha$
Các định lý so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với số $\alpha$. Cho tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c , a \ne 0$ và số thực $\alpha$. Khi đó ta có các mệnh đề sau:
 
 
$\left( a \right)$   $f\left( x \right)$ có hai nghiệm ${x_1} < \alpha  < {x_2}$  $ \Leftrightarrow af\left( \alpha  \right) < 0.$
$(\alpha \hbox{ nằm giữa hai nghiệm)}$.
 
$\left( b \right)$   $f\left( x \right)$ có hai nghiệm $\left[ \begin{array}{l} \alpha  < {x_1} < {x_2}\\ {x_1} < {x_2} < \alpha \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta  > 0\\ af\left( \alpha  \right) > 0 \end{array} \right..$ 
$(\alpha \hbox{ nằm ngoài khoảng hai nghiệm, về phía trái hoặc phải)}$.

$\left( c \right)$   $f\left( x \right)$ có hai nghiệm ${x_1} < {x_2} < \alpha  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta  > 0\\ af\left( \alpha  \right) > 0\\ \frac{S}{2} < \alpha \end{array} \right..$
$(\alpha \hbox{ nằm ngoài khoảng hai nghiệm về phía phải)}$.

$\left( d \right)$   $f\left( x \right)$ có hai nghiệm $\alpha  < {x_1} < {x_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta  > 0\\ af\left( \alpha  \right) > 0\\ \frac{S}{2} > \alpha \end{array} \right..$ 
$(\alpha \hbox{ nằm ngoài khoảng hai nghiệm về phía trái)}$.
 
Ví dụ 1. Cho phương trình ${x^2} + 2mx - 3{m^2} = 0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ thoả mãn ${x1} < 1 < {x_2}$.
Giải. Đặt $f\left( x \right) = {x^2} + 2mx - 3{m^2}$. Áp dụng mệnh đề $\left( a \right)$, yêu cầu bài toán tương đương $$af\left( 1 \right) < 0 \Leftrightarrow 1 \cdot f\left( 1 \right) < 0 \Leftrightarrow {1^2} + 2m - 3{m^2} < 0 \Leftrightarrow  - 3{m^2} + 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 1\\ m <  - \frac{1}{3} \end{array} \right..$$
Ví dụ 2. Cho phương trình ${x^2} + 2mx - 3{m^2} = 0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ và số $ \alpha =1$ nằm ngoài khoảng hai nghiệm. 
Giải. Đặt $f\left( x \right) = {x^2} + 2mx - 3{m^2}$. Ta có $\Delta ' = {m^2} - \left( { - 3{m^2}} \right) = 4{m^2}.$
Áp dụng mệnh đề $\left( b \right)$, yêu cầu bài toán tương đương $$\left\{ \begin{array}{l} \Delta ' > 0\\ af\left( \alpha  \right) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4{m^2} > 0\\  - 3{m^2} + 2m + 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\  - \frac{1}{3} < m < 1 \end{array} \right..$$


 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 10 trong 2 đánh giá

Xếp hạng: 5 - 2 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật   

Những tin cũ hơn