Định lý Viet

Chủ nhật - 08/05/2016 10:23
Định lý Viet

Định lý Viet $^{\left[ 1 \right]}$. Nếu phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm là $x_1$ và $x_2$ thì $$\displaylines{
  S: = {x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}; \cr
  P: = {x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a}. \cr} $$


Hệ quả 1. Với hai số thực $x_1$ và $x_2$ bất kì, ta đặt $S = {x_1} + {x_2}$ và $P = {x_1} \cdot {x_2}$ thì $x_1$ và $x_2$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - SX + P = 0.$

Ví dụ 1. Nghiệm $\hbox{(nếu có)}$ của phương trình ${x^2} - 5x + 6 = 0$ là $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn ${x_1} + {x_2} = 5$ và ${x_1} \cdot {x_2} = 6$. Từ đây ta dễ dàng nhẫm được ${x_1} = 2$ và ${x_2} = 3$.

Hệ quả 2. Nếu phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ có tổng các hệ số $a + b + c = 0$ thì phương trình sẽ có hai nghiệm ${x_1} = 1$ và ${x_2} = \frac{c}{a}$.

Ví dụ 2. Phương trình ${x^2} - 3x + 2 = 0$ có các hệ số $a + b + c = 1 + \left( { - 3} \right) + 2 = 0$ nên có nghiệm là ${x_1} = 1,{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2.$

Hệ quả 3. Nếu phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ có tổng các hệ số $a - b + c = 0$ thì phương trình sẽ có hai nghiệm ${x_1} = 1$ và ${x_2} = - \frac{c}{a}$.

Ví dụ 3. Phương trình ${x^2} + 5x +4 = 0$ có các hệ số $a - b + c = 1 - 5 + 4 = 0$ nên có nghiệm là ${x_1} = - 1,{x_2} = - \frac{c}{a} = - \frac{4}{1} = - 4.$

Ví dụ 4. Phươ Định $m$ để phương trình $x^2 - 2mx +4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thoả mãn đẳng thức $x_1^2 + x_2^2 = {x_1}{x_2} +24.$
Giải. Ta có $\Delta ' = {{b'}^2} - ac = {\left( { - m} \right)^2} - 4 = {m^2} - 4.$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow m <  - 2 \vee m > 2.$ Khi đó, theo định lý Vi-et ta có $${x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} = 2m;{\text{    }}{x_1}{x_2} = 4.$$ Đẳng thức đã cho tương đương $${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} - 24 = 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 36 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 3{\rm{      }}\left( n \right)\\ m =  - 3{\rm{    }}\left( n \right) \end{array} \right..$$
 
$^{\left[ 1 \right]}$ Francois Viete là nhà toán học người Pháp.

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật   

Những tin mới hơn

Những tin cũ hơn