Cấp số cộng

Chủ nhật - 13/03/2016 05:18
Cấp số cộng. Công thức tính số hạng tổng quát của một cấp số cộng. Tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
Cấp số cộng $\hbox{(CSC)}$ là một dãy số mà kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước đó với một số $d$ không đổi. Nghĩa là,
$\left( {{u_n}} \right)$ là $\hbox{(CSC)}$ $ \Leftrightarrow {u_n} = {u_{n - 1}} + d$ với mọi $n \geqslant 2.$
$u_1$ được gọi là số hạng đầu tiên, $d$ được gọi là công sai. 

Ví dụ 1. Dãy số $2,6,10,14,18$ là một $\hbox{(CSC)}$ có số hạng đầu ${u_1} = 2$ và số hạng cuối là ${u_5} = 18.$ Công sai là $d = {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = {u_5} - {u_4} = 4.$

Ví dụ 2. Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được cho bởi công thức truy hồi $$\left\{ \begin{gathered}   {u_1} = 2 \hfill \\   {u_n} = {u_{n - 1}} + 3 \hfill \\ \end{gathered}  \right.$$ là $\hbox{(CSC)}$ với ${u_1} = 2,{u_2} = 5,{u_3} = 7,...$ Công sai $d = {u_2} - {u_1} = 3.$

Ví dụ 3. Dãy các số tự nhiên lẻ $1,3,5,...,2n + 1,...$ là $\hbox{(CSC)}$ với số hạng đầu tiên ${u_1} = 1$ và công sai $d=2$.

Ví dụ 4. Dãy số $1,3,7,11$ không phải $\hbox{(CSC)}$ vì ${u_2} - {u_1} = 2 \ne 4 = {u_4} - {u_3}.$


 
Nếu dãy $\left( {{u_n}} \right)$ là $\hbox{(CSC)}$ thì mỗi số hạng đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, nghĩa là $${u_n} = \frac{{{u_{n - 1}} + {u_{n + 1}}}}{2}.$$ Nói riêng, dãy ${u_1},{u_2},{u_3}$ là $\hbox{(CSC)}$ khi và chỉ khi ${u_1} + {u_3} = 2{u_2}.$

Ví dụ 5. Biết rằng ba góc của một tam giác vuông tạo thành một $\hbox{(CSC)}$. Tìm số đo các góc của tam giác.
 
Giải. Giả sử $\hbox{(CSC)}$ này là ${u_1},{u_2},{u_3}$ Vì đây là tam giác vuông nên ${u_3} = {90^o}$. Do ${u_1},{u_2},{u_3}$ là $\hbox{(CSC)}$ nên ${u_1} + {u_3} = 2{u_2} \Leftrightarrow {u_1} + {90^o} = 2{u_2}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)$
Mặt khác tổng số đo ba góc của một tam giác là $180^o$, nghĩa là ${u_1} + {u_2} + {u_3} = {180^o}.\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)$

Kết hợp $\left( 1 \right)\& \left( 2 \right)$ ta được cấp số nhân ${u_1} = {30^o},{u_2} = {60^o},{u_3} = {90^o}.$
 
Số hạng tổng quát thứ $n$ của một $\hbox{(CSC)}$ hoàn toàn xác định nếu biết được số hạng đầu tiên $u_1$ và công sai $d$ theo công thức $${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\;\;\;\;\;\;\;\left(  *  \right)$$

Ví dụ 6. Tính số hạng thứ $10$ và số hạng thứ $100$ của một $\hbox{(CSC)}$ có số hạng đầu là ${u_1} = 2$ và công sai $d = 3.$
 
Giải. Ta có $$\begin{array}{l} {u_{10}} = {u_1} + \left( {10 - 1} \right)d = 2 + \left( {10 - 1} \right)3 = 29.\\ {u_{100}} = {u_1} + \left( {100 - 1} \right)d = 2 + \left( {100 - 1} \right)3 = 299. \end{array}$$
 
Tổng của $n$ số hạng đầu tiên của một $\hbox{(CSC)}$ ${S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}$ hoàn toàn xác định nếu ta biết được số hạng đầu tiên $u_1$ và số hạng $u_n$ theo công thức $${S_n} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right)n}}{2}\;\;\;\;\;\left(  **  \right)$$

Ví dụ 7. Tính tổng ${S_5} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5}$ của một $\hbox{(CSC)}$ biết rằng ${u_1} = 2,{u_5} = 14.$
Giải. Áp dụng công thức $\left(  **  \right)$ ta có $${S_5} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_5}} \right)5}}{2} = \frac{{\left( {2 + 14} \right)5}}{2} = 40.$$ Cách khác. Bây giờ ta tìm tất cả các số hạng ${u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_5}.$
Áp dụng công thức $\left(  *  \right)$ ta được ${u_5} = {u_1} + \left( {5 - 1} \right)d \Leftrightarrow 14 = 2 + 4d \Leftrightarrow d = 3.$ Lúc này ta có $$\begin{array}{l} {u_1} = 3,\\ {u_2} = {u_1} + d = 3 + 3 = 6,\\ {u_3} = {u_2} + d = 3 + 6 = 9,\\ {u_4} = {u_3} + d = 9 + 3 = 12,\\ {u_5} = {u_4} + d = 12 + 3 = 15. \end{array}$$ Suy ra $${S_5} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 40.$$


 

 
Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)


 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật   

Những tin mới hơn

Những tin cũ hơn