Cấp số nhân

Thứ hai - 14/03/2016 17:11
Cấp số nhân. Công bội của cấp số nhân. Công thức tìm số hạng tổng quát của một cấp số nhân. Tổng $n$ số hạng đầu tiên của một cấp số nhân.
Cấp số nhân $\hbox{(CSN)}$ là một dãy số mà kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước đó với một số $q$ không đổi. Nghĩa là,
$\left( {{u_n}} \right)$ là $\hbox{(CSN)}$ $ \Leftrightarrow {u_n} = {u_{n - 1}} \cdot q.$
$u_1$ được gọi là số hạng đầu tiên, $q$ được gọi là công bội. 

Ví dụ 1. Dãy số $2,6,18,54$ là một $\hbox{(CSN)}$ có số hạng đầu là ${u_1} = 2$ và số hạng cuối là ${u_4} = 54.$ Công bội $q = 3.$

Ví dụ 2. Dãy luỹ thừa tụ nhiên của $2$, ${u_n} = {2^n},n \ge 1,$ là một $\hbox{(CSN)}$  với ${u_1} = 2$ và công bội $q = 3.$

Ví dụ 3. Dãy số $1,3,9,54$ không phải là $\hbox{(CSN)}$ vì $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 3 \ne 6 = \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}}.$
 
Nếu $\left( {{u_n}} \right)$ là $\hbox{(CSN)}$ thì mỗi số hạng đều là trung bình nhân của hai số hạng đứng kề nó trong dãy. Nghĩa là, $$u_n^2 = {u_{n - 1}} \cdot {u_{n + 1}}$$ Nói riêng, dãy ${u_1},{u_2},{u_3}$ là $\hbox{(CSN)}$ khi và chỉ khi ${u_1} \cdot {u_3} = u_2^2.$

Ví dụ 4. Biết rằng $a,b,c,d$ là một $\hbox{(CSN)}$. Chứng minh đẳng thức ${\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} + {\left( {d - b} \right)^2} = \left( {a - d} \right).$
Giải. Vì theo thứ tự, các số $a,b,c,d$ tạo thành một $\hbox{(CSN)}$ nên theo mệnh đề trên ta có ${b^2} = ac,{c^2} = bd$, và $ad= bc$. Khi đó ta có 

$$\begin{array}{l} {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} + {\left( {d - b} \right)^2} = {b^2} - 2bc + {c^2} + {c^2} - 2ac + {a^2} + {d^2} - 2bd + {b^2}\\  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {b^2} - 2ad + {c^2} + {c^2} - 2{b^2} + {a^2} + {d^2} - 2{c^2} + {b^2}\\   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^2} - 2ad + {d^2} = {\left( {a - d} \right)^2}. \end{array}$$
Số hạng thứ $n$ của một $\hbox{(CSN)}$ hoàn toàn xác định được nếu biết số hạng đầu tiên ${u_1}$ và công bội $q$ bởi công thức $${u_n} = u \cdot {q^{n - 1}}\;\;\;\;\;\;\;\left(  *  \right)$$

Ví dụ 5. Tìm số hạng thứ $5$ và thứ $10$ của một $\hbox{(CSN)}$ có số hạng đầu là ${u_1} = 2$ và công bội $q = 10.$
Giải. Ta có $$\begin{array}{l} {u_5} = {u_1} \cdot {q^{5 - 1}} = 2 \cdot {10^4} = 20000.\\ {u_{10}} = 2 \cdot {10^9}. \end{array}$$
Ví dụ 6. Hãy viết $5$ số hạng xen giữa các số $1$ và $729$ để được một $\hbox{(CSN)}$ có $7$ số hạng. 
Giải. Ta dùng công thức $\left(  *  \right)$ để tìm công bội $q$ sau đó ta liệt kê tất cả các số hạng của dãy. Ta có $${u_7} = {u_1} \cdot {q^{7 - 1}} \Leftrightarrow 729 = {q^6} \Leftrightarrow q = 3.$$ Từ đây ta có $$\begin{array}{l} {u_1} = 1;\;\;\;{u_2} = {u_1} \cdot q = 3;\;\;\;{u_3} = {u_2} \cdot q = 9.\\ {u_4} = {u_3} \cdot q = 27;\;\;\;{u_5} = {u_4} \cdot q = 81;\;\;\;{u_6} = {u_5} \cdot q = 243.\\ {u_7} = {u_6} \cdot q = 729. \end{array}$$
Tổng của $n$ số hạng đầu tiên  ${S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}$ của một $\hbox{(CSN)}$ hoàn toàn xác định nếu biết số hạng đầu tiên ${u_1}$ và công bội $q$ theo công thức $${S_n} = \frac{{{u_1}\left( {{q^n} - 1} \right)}}{{q - 1}},q \ne 1.\;\;\;\;\;\left( { *  * } \right)$$

Ví dụ 7. Tính tổng ${S_{10}} = {u_1} + ... + {u_{10}}$ của một $\hbox{(CSN)}$ biết số hạng đầu tiên ${u_1} = 3$ và công bội $q = 2.$
Giải. Áp dụng công thức $\left( { *  * } \right)$ ta có $${S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {{q^{10}} - 1} \right)}}{{q - 1}}  = \frac{{3 \cdot \left( {{2^{10}} - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 3069.$$
 
Ví dụ 8. Tìm cấp số nhân $\hbox{(tức là tìm số hạng đầu tiên u_1 và công bội q)}$ biết các số hạng ${u_1},{u_2},...,{u_8}$ thoả hệ $$\left\{ \begin{array}{l} {u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 30\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\\ {u_5} + {u_6} + {u_7} + {u_8} = 480\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right) \end{array} \right..$$
Giải. Theo công thức $\left( { *  * } \right)$ ta có $\left( 1 \right) \Leftrightarrow {u_1} \cdot {q^3} = 30.$ Mặt khác ta có $$\begin{array}{l} \left( 1 \right)\& \left( 2 \right) \Rightarrow {u_1} + {u_2} + ... + {u_8} = 480 \Leftrightarrow {u_1} \cdot {q^7} = 510 \Leftrightarrow \left( {{u_1} \cdot {q^3}} \right) \cdot {q^4} = 480\\  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow 30 \cdot {q^4} = 480 \Leftrightarrow {q^4} = 16 \Leftrightarrow q = 2. \end{array}$$ Với $q = 2 \Rightarrow {u_1} = \frac{{15}}{4}.$


Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật   

Những tin mới hơn

Những tin cũ hơn