Đạo hàm

Thứ bảy - 19/03/2016 17:40
Đạo hàm. Đạo hàm của hàm số tại một điểm. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng. Đạo hàm của hàm số trên một đoạn.
Đạo hàm của hàm số tại một điểm. Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ chứa ${x_0}.$ Giới hạn hữu hạn $\hbox{(nếu có)}$ $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$$ được gọi là đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)$ tại $x_0$. Ký hiệu $f'\left( {{x_0}} \right).$

Nếu giới hạn trên vô hạn hoặc không tồn tại thì ta nói hàm số không có đạo hàm tại $x_0$.

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2} + 1$ tại ${x_0} = 2.$
Giải. Theo định nghĩa ta có $$f'\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 1 - 5}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 2} \right) = 4.$$

Ví dụ 2. Hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{x}$ không có đạo hàm tại $x = 0$ vì hàm số không xác định tại điểm này.

Ví dụ 3. Ta sẽ chứng minh hàm số $f\left( x \right) = \left| x \right|$ không có đạo hàm tại điểm $x_0=0$. Ta có $$\begin{gathered}   \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right|}}{x}\mathop  = \limits^{x > 0} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{x} = 1. \hfill \\   \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right|}}{x}\mathop  = \limits^{x < 0} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - x}}{x} =  - 1. \hfill \\ \end{gathered} $$ Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}$ nên không tồn tại giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}$. Nghĩa là không tồn tại $f'\left( 0 \right).$

Đạo hàm của hàm một phía. Đạo hàm bên trái và bên phải tại $x_0$ của hàm số $f\left( x \right)$, lần lượt được kí hiệu là ${{f'}_ + }\left( {{x_0}} \right)$ và ${{f'}_ - }\left( {{x_0}} \right)$, được định nghĩa là các giới hạn hữu hạn $\hbox{(nếu có)}$  $$\begin{array}{l} {{f'}_ + }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} \hbox{ và } \\ {{f'}_ - }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}. \end{array}$$

Ví dụ 4. Hàm số $f\left( x \right) = \left| x \right|$ được xét trong Ví dụ 3 có ${{f'}_ + }\left( 0 \right) = 1,{{f'}_ - }\left( 0 \right) =  - 1.$

Bình luận. Qua Ví dụ 3 và Ví dụ 4 ta thấy có thể hàm số không có đạo hàm tại $x_0$ nhưng lại có đạo hàm trái hoặc đạo hàm phải tại điểm này. Tuy nhiên ta có mệnh đề sau 
 
Nếu số  $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại $x_0$ thì cũng có đạo hàm trái và phải tại $x_0$.
 

Ý nghĩa của đạo hàm. Đạo hàm $f'\left( {{x_0}} \right)$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f\left( x \right)$  tại $x_0$. Từ đây ta có phương trình tiếp tuyến ${T_0}$ của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là $$y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.$$

Ví dụ 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f\left( x \right) = {x^2} + 1$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = 2.$
 
Giải. Với ${x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 5 \Rightarrow {M_0}\left( {2;5} \right).$ 
Ta có đạo hàm của hàm số tại $x_0=2$ là $$f'\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 1 - 5}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 2} \right) = 4.$$ Suy ra phương trình tiếp tuyến tại ${M_0}\left( {2;5} \right)$ là $$y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = 4\left( {x - 2} \right) + 5 \Leftrightarrow y = 4x - 3.$$
 
Đạo hàm trên một khoảng. Hàm số $f\left( x \right)$ được gọi là có đạo hàm trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ nếu hàm số có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng $\left( {a;b} \right)$.

Nếu hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ thì hàm số $f'\left( x \right)$ xác định tại mọi $x \in \left( {a;b} \right)$ được gọi là đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên khoảng $\left( {a;b} \right)$.

Ví dụ 6. Hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ xác định trên $ \mathbb{R}$ và có đạo hàm trên mọi khoảng $\left( {a;b} \right) \subset \mathbb{R}$ vì với mọi ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$ ta có $$f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} - x_0^2}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x + {x_0}} \right) = 2{x_0}.$

Hàm số $f'\left( x \right) = 2x$ được gọi là đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$.


 
Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)


 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật   

Những tin mới hơn

Những tin cũ hơn