Đạo hàm của các hàm số cơ bản

Chủ nhật - 20/03/2016 03:24
Đạo hàm của các hàm số cơ bản.
Dưới đây là đạo hàm của các hàm số cơ bản. Ta sẽ không chứng minh các công thức này mà chú trọng vào cách dùng.
 
Đạo hàm của các hàm số cơ bản. $$\begin{array}{l}
\left( 1 \right)\;\;\;\;\;C' = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\;\;\;\;\;{\left( x \right)^\prime } = 1.\\
\left( 3 \right)\;\;\;\;\;{\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n - 1}},n \in N.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 4 \right)\;\;\;\;{\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } =  - \frac{1}{{{x^2}}}.\\
\left( 5 \right)\;\;\;\;\;{\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 6 \right)\;\;\;\;{\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x.\\
\left( 7 \right)\;\;\;\;\;{\left( {\cos x} \right)^\prime } =  - \sin x.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 8 \right)\;\;\;\;{\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x.\\
\left( 9 \right)\;\;\;\;\;{\left( {\cot x} \right)^\prime } =  - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} =  - \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right).\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
\end{array}$$


 
Các quy tắc tính đạo hàm. $$\begin{array}{l}
\left( a \right)\;\;\;\;\;\;\;{\left( {u + v} \right)^\prime } = u' + v'.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( b \right)\;\;\;\;\;\;\;{\left( {u - v} \right)^\prime } = u' - v'.\\
\left( b \right)\;\;\;\;\;\;\;{\left( {C \cdot u} \right)^\prime } = C \cdot u'\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {b'} \right)\;\;\;\;\;\;\;{\left( {u \cdot v} \right)^\prime } = u' \cdot v + v' \cdot u.\\
\left( c \right)\;\;\;\;\;\;{\left( {\frac{1}{v}} \right)^\prime } =  - \frac{{v'}}{{{v^2}}}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {c'} \right)\;\;\;\;\;\;\;{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u' \cdot v - v' \cdot u}}{{{v^2}}}.
\end{array}$$
Ví dụ 3. $$f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + x - 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = {\left( {{x^3}} \right)^\prime } - {\left( {{x^2}} \right)^\prime } + x' - 1' = 3{x^2} - 2x + 1.$$
Ví dụ 4. $$\begin{array}{l}
f\left( x \right) = 2{x^3} - 5{x^2} + 3x + 2 \Rightarrow f'\left( x \right) = {\left( {2{x^3}} \right)^\prime } - {\left( {5{x^2}} \right)^\prime } + {\left( {3x} \right)^\prime } + 2'\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 2{\left( {{x^3}} \right)^\prime } - 5{\left( {{x^2}} \right)^\prime } + 3{\left( x \right)^\prime } + 2' = 6{x^2} - 10x + 3.
\end{array}$$
Ví dụ 5. Áp dụng quy tắc $\left( {c'} \right)$
ta có $$\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} - 2x + 1}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }\left( {{x^3} - 2x + 1} \right) - {{\left( {{x^3} - 2x + 1} \right)}^\prime }\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^3} - 2x + 1} \right)}^2}}}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{2x\left( {{x^3} - 2x + 1} \right) - \left( {3{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^3} - 2x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^4} - 5{x^2} + 2x + 2}}{{{{\left( {{x^3} - 2x + 1} \right)}^2}}}.
\end{array}$$

Ví dụ 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f\left( x \right) = \sin x$ tại ${x_0} = \frac{\pi }{6}$.
Giải. Với ${x_0} = \frac{\pi }{6} \Rightarrow {y_0} = f\left( {{x_0}} \right) = \sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}.$
Áp dụng công thức $\left( 6 \right)$ ta có $$f'\left( x \right) = \cos x \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = \cos \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$$ Phương trình tiếp tuyến $$y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = \frac{{\sqrt 3 }}{2}x + \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 \pi }}{{12}}.$$

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 5 trong 1 đánh giá

Xếp hạng: 5 - 1 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật   

Những tin mới hơn

Những tin cũ hơn