Phương pháp quy nạp toán học

Thứ bảy - 12/03/2016 04:57
Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi $n \in \mathbb{N}$ bằng phương pháp quy nạp toán học ta tiến hành như sau 
  • Bước 1. Chứng minh mệnh đề đúng với $n=1$.
  • Bước 2. Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì $n = k,k \geqslant 1,$ và ta phải chứng minh mệnh đề đúng với $n = k + 1.$

Ví dụ 1. Chứng minh ${n^3} - n$ chia hết cho $3$ với mọi $n \in \mathbb{N}.$
Giải. Bước 1. Với $n=1$ thì ${n^3} - n = 1 - 1 = 0$ chia hết cho $3$.
Bước 2. Giả sử mệnh đề đúng với $n = k \geqslant 1,$ nghĩa là ${k^3} - k$ chia hết cho $3$.
Khi đó, với $n = k + 1,$ ta có $${n^3} - n = {\left( {k + 1} \right)^3} - \left( {k + 1} \right) = \underbrace {{k^3} - k}_{ \vdots 3} + \underbrace {3\left( {{k^2} - k} \right)}_{ \vdots 3}.$$ Vậy ${n^3} - n$ chia hết cho $3$ với mọi $n \in \mathbb{N}.$
 
Ví dụ 2. Chứng minh đẳng thức $1 + 2 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2},n \in \mathbb{N}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left(  *  \right)$
 
Giaỉ. Bước 1. Với $n = 1$ thì $ VT = 1 = VP$.
Bước 2. Giả sử đẳng thức $\left(  *  \right)$ đúng với $n = k \geqslant 1,$ nghĩa là đẳng sức sau là đúng $$1 + 2 + ... + k = \frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2}.$$ Bây giờ với $n = k + 1,$ ta có $$\underbrace {1 + 2 + ... + k}_{\frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2}} + \left( {k + 1} \right) = \frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2} + \left( {k + 1} \right) = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}.$$ Vậy đẳng thức $\left(  *  \right)$ đúng với mọi $n \in \mathbb{N}.$
 
Ví dụ 3. Chứng minh bất đẳng thức  ${n^2} > 2n + 1\;\;\;\left(  *  \right),$ với mọi số tự nhiên $n \geqslant 3.$
 
Giải. Bước 1. Với $ n=3 $ thì $ VT = 9 > 7 = VP $.
Bước 2. Giả sử bất đẳng thức $\left(  *  \right)$ đúng với $n = k \geqslant 3,$ nghĩa là ta có $${k^2} > 2k + 1.$$ Với $n = k + 1,$ ta có $${\left( {k + 1} \right)^2} = {k^2} + 2k + 1 > 2k + 1 + 2k + 1 = 2\left( {k + 1} \right) + 1.$$ Vậy bất đẳng thức $\left(  *  \right)$ đúng với mọi số tự nhiên $n \geqslant 3.$
 
Bình luận. Ở hai ví dụ đầu ta khởi đầu bằng việc kiểm tra mệnh đề cần chứng minh với $ n =1 $, và đây là phần tử đầu tiên trong tập số tự nhiên $\mathbb{N}$. Tuy nhiên ở ví dụ 3, vì yêu cầu của đề bài là chứng minh bất đẳng thức đúng với $n \geqslant 3$ nên giá trị khởi đầu là $ n =3$ học sinh nên lưu ý điều này. 
 
 


Bài tập 
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật   

Những tin mới hơn