Luỹ thừa

Thứ ba - 09/02/2016 01:22
Luỹ thừa với số mũ nguyên. Luỹ thừa với số mũ hữu tỷ. Luỹ thừa với số mũ vô tỷ.
Luỹ thừa với số mũ nguyên.
 
$ \bullet \,\,{a^n} = \underbrace {a.a...\,a}_{n\;l\hat an}\,\,\,\,\,\,\left( {a \in \mathbb{R},n \in \mathbb{N}} \right)$, với $a$ là cơ số và $n$ là luỹ thừa của cơ số $a$.
$ \bullet \,\,{a^0} = 1\,$, $a \ne 0$ vì $0^0$ không được định nghĩa.
$ \bullet \,\,{a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\,$, $a \ne 0$ vì $\frac{1}{0}$ không được định nghĩa.

 
Ví dụ 1. $3.3 = {3^2}.$
$q.q.q.q = {q^4}$
${2^{ - 3}} = \frac{1}{{{2^3}}} = \frac{1}{8}.$
$\frac{{{2^{ - 2}}}}{{{3^2}}} = \frac{1}{{{3^2} \cdot {2^2}}} = \frac{1}{{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2}} = \frac{1}{{36}}.$
${\left( {{3^x}} \right)^0} = 1$.

 
Với $a>0$, $b>0$ và $m,n \in {\Bbb Z},$ ta định nghĩa $$\eqalign{
  &  \bullet \,\,{a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \bullet \,\,{\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}  \cr
  &  \bullet \,\,\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \bullet \,\,{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}  \cr
  &  \bullet \,\,{\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n} \cr} $$
Ví dụ 2. ${2^{3x}} \cdot {2^{4x}} = {2^{3x + 4x}} = {2^{7x}}.$
$\frac{{4{x^3}{y^7}}}{{12x{y^5}}} = \frac{4}{{12}} \cdot {x^{3 - 1}} \cdot {y^{7 - 5}} = \frac{1}{3}{x^2}{y^2}.$
$\frac{{{2^{2n}}{{.4}^n}.2}}{{{{16}^n}}} = \frac{{{2^{2n}}.{{\left( {{2^2}} \right)}^n}.2}}{{{{\left( {{2^4}} \right)}^n}}} = \frac{{{2^{2n}}{{.2}^{2n}}.2}}{{{2^{4n}}}} = \frac{{{2^{2n + 2n + 1}}}}{{{2^{4n}}}} = \frac{{{2^{4n + 1}}}}{{{2^{4n}}}} = {2^{4n + 1 - 4n}} = {2^1} = 2.$
$\frac{{{5^{2x - 1}}{{.9}^{x - 2}}}}{{{{15}^{2x - 3}}}} = \frac{{{5^{2x - 1}}.{{\left( {{3^2}} \right)}^{x - 2}}}}{{{{\left( {3.5} \right)}^{2x - 3}}}} = \frac{{{5^{2x - 1}}{{.3}^{2x - 4}}}}{{{3^{2x - 3}}{{.5}^{2x - 3}}}} = \frac{{{3^{2x - 4}}}}{{{3^{2x - 3}}}} \cdot \frac{{{5^{2x - 1}}}}{{{5^{2x - 3}}}} = {3^{2x - 4 - \left( {2x - 3} \right)}}{.5^{2x - 1 - \left( {2x - 3} \right)}} = {3^{ - 1}}{.5^2} = \frac{{{5^2}}}{3} = \frac{{25}}{3}.$
$\frac{{{2^t} - {2^{t - 2}}}}{{{{3.2}^t} - {2^t}}} = \frac{{{2^t} - {2^t}{{.2}^{ - 2}}}}{{{{3.2}^t} - {2^t}}} = \frac{{{2^t}\left( {1 - {2^{ - 2}}} \right)}}{{{2^t}\left( {3 - 1} \right)}} = \frac{{1 - {2^{ - 2}}}}{{3 - 1}} = \frac{{1 - \frac{1}{{{2^2}}}}}{2} = \frac{{1 - \frac{1}{4}}}{2} = \frac{3}{8}.$
$\frac{{{9^x} - 1}}{{{3^x} + 1}} = \frac{{{{\left( {{3^2}} \right)}^x} - 1}}{{{3^x} + 1}} = \frac{{{{\left( {{3^x}} \right)}^2} - 1}}{{{3^x} + 1}} = \frac{{\left( {{3^x} + 1} \right)\left( {{3^x} - 1} \right)}}{{{3^x} + 1}} = {3^x} - 1.$

Luỹ thừa với số mũ hũu tỷ. Với $a>0$ và $m \in \mathbb{Z},n \in \mathbb{N},n \geqslant 2,$ ta định nghĩa $${a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}.$$

Ví dụ 3. $${\left( {0.25} \right)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {\frac{{25}}{{100}}} \right)^{\frac{1}{2}}} = {\left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} \right]^{\frac{1}{2}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2.\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}.$$
Ví dụ 4. $$2{x^{\frac{1}{2}}}.4{x^{ - \frac{1}{2}}} = 8{x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}} = 8{x^0} = 8.$$
Ví dụ 5. Chứng minh biểu thức $A = \sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} }  + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } $ không phụ thuộc $x$ với mọi $4 \leqslant x \leqslant 8.$
Giải. $$\begin{array}{l}
{A^2} = 2x + 2\sqrt {\left( {x + 4\sqrt {x - 4} } \right)\left( {x - 4\sqrt {x - 4} } \right)}  = 2x + 2\sqrt {{x^2} - 16\left( {x - 4} \right)} \\
\;\;\;\; = 2x + 2\sqrt {{x^2} - 16x + 64}  = 2x + 2\sqrt {{{\left( {x - 8} \right)}^2}} \mathop { =  =  = }\limits^{4 \le x \le 8} 2x - 2\left( {x - 8} \right) = 8.\\
 \Rightarrow A = 2\sqrt 2 .
\end{array}$$

Luỹ thừa với số mũ vô tỷ. Giả sử $\alpha$ là một số vô tỷ, khi đó tồn tại một dãy số hữu tỷ ${\left\{ {{r_n}} \right\}_{n \in {\Bbb N}}}$ sao cho $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {r_n} = \alpha .$ Ta định nghĩa
$${a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {a^{{r_n}}}.$$
Ví dụ 6. Hãy tìm dãy số các luỹ thừa hữu tỷ dần về giá trị ${3^{\sqrt 2 }}.$
Giải. Ta chọn dãy hữu tỷ ${r_1} = 1,{r_2} = 1.4,{r_3} = 1.41,{r_4} = 1.414,...$ và dãy số các luỹ thừa hữu tỷ tương ứng ${3^1},{3^{1.4}},{3^{1.41}},{3^{1.414}},...$ tiến về ${3^{\sqrt 2 }},$ nghĩa là ${3^{\sqrt 2 }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {3^{{r_n}}}.$
 
Tính chất luỹ thừa với số mũ thực Luỹ thừa với số mũ thực có tất cả các tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên, và
 
Nếu $a>1$ thì ${a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha  > \beta .$
Nếu $0 < a < 1$ thì ${a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha  < \beta .$

 
Ví dụ 7. So sánh hai số ${2^{\sqrt 2 }}$ và ${2^{\sqrt 3 }}.$
Ta có $\sqrt 2  < \sqrt 3 $ và cơ số $2>1$ nên ${2^{\sqrt 2 }} < {2^{\sqrt 3 }}.$
 
Ví dụ 8. So sánh hai số ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{6}{5}}}$ và ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\sqrt 3 }}.$
Ta có $\frac{6}{5} < \sqrt 3 $ và cơ số $ \frac{2}{3} < 1$ nên ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{6}{5}}} > {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\sqrt 3 }}.$
 

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật