Phương trình logarit - Đặt ẩn phụ

Thứ năm - 11/02/2016 11:37
Phương trình logarit. Các phương pháp giải phương trình logarit. Giải phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Ta tìm cách đặt ẩn phụ để đưa phương trình logarit về dạng phương trình đại số quen thuộc

Ví dụ 1. Giải phương trình ${\rm{log}}_2^2{\left( {x - 1} \right)^2} + {\log _2}{\left( {x - 1} \right)^3} = 7{\rm{        }}\left(  *  \right)$
Giải. Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 > 0\\
x + 2 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1.$
Ta có $\left(  *  \right) \Leftrightarrow {\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \right]^2} + {\log _2}{\left( {x - 1} \right)^3} = 7 \Leftrightarrow 4{\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x - 1} \right)} \right]^2} + 3{\log _2}\left( {x - 1} \right) = 7$.
Đặt $t = {\log _2}\left( {x - 1} \right),{\rm{  }}PT \Leftrightarrow 4{t^2} + 3t - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t =  - 1\\
t = \frac{7}{4}
\end{array} \right.$
Với $t =  - 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 1} \right) =  - 1 \Leftrightarrow x - 1 = {2^{ - 1}} \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.$
Với $t = \frac{7}{4} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 1} \right) = \frac{7}{4} \Leftrightarrow x - 1 = {2^{\frac{7}{4}}} \Leftrightarrow x = 2\sqrt[4]{{{2^3}}} + 1.$

 
Ví dụ 2. Giải phương trình $4{\log _9}x + {\log _x}3 = 3$
Giải. Điều kiện $0 < x \ne 1.$ $$PT \Leftrightarrow 4{\log _9}x + \frac{1}{{{{\log }_3}x}} = 3 \Leftrightarrow 2{\log _3}x + \frac{1}{{{{\log }_3}x}} = 3\;\;\;\;\left( { *  * } \right)$$ Đặt $t = {\log _3}x.$ Ta có $$\left( { *  * } \right) \Leftrightarrow 2t + \frac{1}{t} = 3 \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = \frac{1}{2}
\end{array} \right..$$

Với $t = 1 \Leftrightarrow {\log _3}x = 1 \Leftrightarrow x = 3.$
Với $t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {\log _3}x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \sqrt 3 .$
Ví dụ 3. Giải phương trình $ - \frac{4}{3}{\log _{{x^2}}}4 + 2{\log _{4x}}4 + {\log _{16x}}4 = 0\;\;\;\;\;\;\;\left( { *  *  * } \right)$
Giải. Điều kiện $0 < x \ne 1.$ Đặt $$t = {\log _x}4 \Rightarrow x = {4^t} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\log _{4x}}4 = {\log _{{4^{t + 1}}}}4 = \frac{1}{{t + 1}}\\
{\log _{16x}}4 = {\log _{{4^{t + 2}}}}4 = \frac{1}{{t + 2}}
\end{array} \right.$$ Suy ra $$ - \frac{4}{3}t + \frac{2}{{t + 1}} + \frac{1}{{t + 2}} = 0 \Leftrightarrow  - 4t\left( {t + 1} \right)\left( {t + 2} \right) + 6\left( {t + 2} \right) + 3\left( {t + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t =  - \frac{5}{2}\\
t =  - \frac{3}{2}\\
t = 1
\end{array} \right.$$
Với $t =  - \frac{5}{2} \Leftrightarrow {\log _x}4 =  - \frac{5}{2} \Leftrightarrow {\log _4}x =  - \frac{2}{5} \Leftrightarrow x = {4^{ - \frac{2}{5}}}.$
Với $t =  - \frac{3}{2} \Leftrightarrow {\log _x}4 =  - \frac{3}{2} \Leftrightarrow {\log _4}x =  - \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = {4^{ - \frac{2}{3}}}.$
Với $t = 1 \Leftrightarrow {\log _x}4 = 1 \Leftrightarrow {\log _4}x = 1 \Leftrightarrow x = 4.$

 
Ví dụ 4. Giải phương trình ${x^{2\log x}} = 10{x^2}$.
Điều kiện $x>0$. Lấy logarit cơ số $10$ hai vế ta được $$PT \Leftrightarrow 2{\log ^2}x = 1 + 3\log x \Leftrightarrow 2{\log ^2}x - \log x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\log x = 1\\
\log x = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 10\\
x = \sqrt {10}
\end{array} \right..$$

 


Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật