Phương trình mũ - Bất đẳng thức Bernoulli

Thứ năm - 11/02/2016 22:03
Phương trình mũ. Các phương pháp giải phương trình mũ. Giải phương trình mũ bằng Bất đẳng thức Bernoulli.
 
  Bất đẳng thức Bernoulli. Với mọi $0<a \ne 1$ ta có $$\left\{ \begin{array}{l}
{a^x} \ge \left( {a - 1} \right)x + 1,x \le 0 \vee x \ge 1\\
{a^x} < \left( {a - 1} \right)x + 1,0 \le x \le 1
\end{array} \right.$$ Đẳng thức xảy ra khi $x=0$ hoặc $x=1$.

Ứng dụng BĐT Bernoulli giải phương trình mũ.

Ví dụ 1. Giải phương trình ${5^x} - 4x - 1 = 0{\rm{    }}\left(  *  \right)$.
Giải. Ta thấy $x = 0,x = 1$ là nghiệm của phương trình. Hơn nữa, theo BĐT Bernoulli ta có $$\left\{ \begin{array}{l}
{5^x} - 4x - 1 > 0,\;\;\;\;x < 0 \vee x > 1.\\
{5^x} - 4x - 1 < 0,\;\;\;\;0 < x < 1.
\end{array} \right.$$
Vậy nghiệm nghiệm của phương trình là $x = 0,x = 1$.
Ví dụ 2. Giải phương trình ${3^x} + {4^x} = 5x + 2$.
Giải. Ta có $PT \Leftrightarrow \left( {{4^x} - 3x - 1} \right) + \left( {{3^x} - 2x - 1} \right) = 0{\rm{   }}\left(  *  \right)$
Theo BĐT Bernoulli thì hai biểu thức trong ngoặc ở $VT \left(  *  \right)$ luôn cùng dấu. Do đó $$\left(  *  \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{4^x} - 3x - 1 = 0\\
{3^x} - 2x - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 1
\end{array} \right.$$
Vậy nghiệm của phương trình là $x = 0,x = 1$.
 
Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật