Góc giữa hai đường thẳng

Thứ ba - 29/03/2016 06:14
Góc giữa hai đường thẳng. Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng.
Góc giữa hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ và ${\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$ lần lượt có vector pháp tuyến là ${\vec n_1} = \left( {{a_1};{b_1}} \right),\;\;{\vec n_2} = \left( {{a_2};{b_2}} \right).$ Đặt $\alpha  = \left( {{{\widehat {{d_1},d}}_2}} \right)$ là góc hợp bởi hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}.$ Khi đó góc $\alpha$ là góc nhọn và được xác định bởi công thức $$\cos \alpha  = \left| {\cos \widehat {\left( {{{\vec n}_1},{{\vec n}_2}} \right)}} \right| = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a^2}_1 + {b^2}_1}  \cdot \sqrt {{a^2}_2 + {b^2}_2} }}.$$

Lưu ý. Công thức trên áp dụng được nếu ta thay vector pháp tuyến bởi vector chỉ phương.

Ví dụ 1. Tính góc hợp bởi hai đường thẳng ${\Delta _1}:x - 5 = 0$ và ${\Delta _2}:2x + y - 14 = 0.$
Giải. Vector pháp tuyến của  $\Delta _1$ và $\Delta _2$ lần lượt là ${\vec n_1} = \left( {1;0} \right),\;\;{\vec n_2} = \left( {2;1} \right).$ Góc $\alpha$ là góc hợp bởi ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ được xác định như sau $$\cos \alpha  = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot 2 + 0 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \alpha  = \arccos \frac{2}{{\sqrt 5 }} \approx {26^o}33'54''.$$

Học sinh nên phân biệt sự khác nhau giữa góc hợp bởi hai vector và góc hợp bởi hai đường thẳng. 

 
Mối liên hệ giữa góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai vector chỉ phương. Trong không gian cho hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ lần lượt có vector chỉ phương là ${\vec u_1},{\vec u_2}$. Khi đó góc hợp bởi giữa hai đường thẳng $\alpha  = \left( {{d_1},{d_2}} \right)$ hoặc bằng $\hbox{(hình 1)}$ hoặc bù $\hbox{(hình 2)}$ với góc hợp bởi hai vector chỉ phương $\varphi  = \left( {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right)$.  
Hình 1
gocgiuahaiduongthang 2
Hình 2














Từ đây ta cũng dễ dàng suy ra ${d_1} \bot {d_2} \Leftrightarrow {\vec u_1} \bot {\vec u_2}.$

Mệnh đề. Cho đường thẳng $\Delta _1$ và $\Delta _2$ lần lượt có vector pháp tuyến ${\vec n_1},{\vec n_2};$ vector chỉ phương ${\vec u_1},{\vec u_2};$ hệ số góc ${k_1},{k_2}.$ Khi đó $$\begin{array}{l} {\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {{\vec n}_1} \bot {{\vec n}_2} \Leftrightarrow {{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2} = 0\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow {{\vec u}_1} \bot {{\vec u}_2} \Leftrightarrow {{\vec u}_1} \cdot {{\vec u}_2} = 0\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow {k_1} \cdot {k_2} =  - 1. \end{array}$$

Ví dụ 2. Hai đường thẳng ${d_1}:2x + 3y - 2 = 0$ và ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y =  - 2 + 3t \end{array} \right.$ vuông góc với nhau vì chúng lần lượt có vector pháp tuyến ${\vec n_1} = \left( {2;3} \right)$ và ${\vec n_2} = \left( {3; - 2} \right)$ thoả ${{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2} = 2 \cdot 3 + 3 \cdot \left( { - 2} \right) = 0.$
 

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 1 trong 1 đánh giá

Xếp hạng: 1 - 1 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật