Hình chiếu vuông góc

Thứ ba - 29/03/2016 15:35
Hình chiếu vuông góc của một điểm lên đường thẳng.
Hình chiếu vuông góc của một điểm lên đường thẳng. Trong măt phẳng $Oxy$ để tìm toạ độ của điểm $H$ là hình chiếu của $M$ lên đường thẳng $d$ ta có thể tiến hành các bước như sau 
 
Bước 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua $\Delta$ đi qua $M$ và vuông góc với $d$.
Bước 2. Điểm $H = \Delta  \cap d$. 

Ví dụ 1. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( { - 1;3} \right)$ lên đường thẳng $d:2x - y + 1 = 0.$
Bước 1. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $d$. Ta có ${{\vec n}_d} = \left( {2; - 1} \right) \Rightarrow {{\vec u}_d} = \left( {1;2} \right)$. Vì $\Delta  \bot d$ nên ${{\vec n}_\Delta } = {{\vec u}_d} = \left( {1;2} \right).$ Do đó phương trình của $\Delta$ là $$\Delta :1 \cdot \left( {x + 1} \right) + 2 \cdot \left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 5 = 0.$$
Bước 2. Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên $d$. Vì $H = \Delta  \cap d$ nên toạ độ của $H$ là nghiệm của hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{l} 2x - y + 1 = 0\\ x + 2y - 5 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3/5\\ y = 11/5 \end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{3}{5};\frac{{11}}{5}} \right).$$
 
Cách khác. Vì $H \in d \Rightarrow H\left( {h;2h + 1} \right).$ Suy ra $\overrightarrow {MH}  = \left( {h + 1;2h - 2} \right).$ Vector chỉ phương của $d$ là $\vec u = \left( {1;2} \right).$ Vì $\overrightarrow {MH}  \bot d$ nên $\overrightarrow {MH}  \bot \vec u \Leftrightarrow \overrightarrow {MH}  \cdot \vec u = 0 \Leftrightarrow h + 1 + 2\left( {2h - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow h = \frac{3}{5} \Rightarrow H\left( {\frac{3}{5};\frac{{11}}{5}} \right).$

Bình luận. Cách 1 tỏ ra dễ hiểu nhưng khá dài dòng. Khi làm những bài tập phức tạp, nhất là những bài có chứa tham số, ta nên dùng cách 2.


 

Đối xứng của một điểm qua đường thẳng. Trong mặt phẳng $Oxy$ để tìm toạ độ điểm $M'$ là đối xứng của điểm $M$ qua đường thẳng $d$ ta tiến hành các bước sau 
Bước 1. Tìm toạ độ điểm $H$ là hình chiếu của điểm $M$ lên đường thẳng $\Delta$.
Bước 2. Tìm toạ độ điểm $M'$ theo công thức trung điểm $$\left\{ \begin{array}{l} {x_H} = \frac{{{x_M} + {x_{M'}}}}{2}\\ {y_H} = \frac{{{y_M} + {y_{M'}}}}{2} \end{array} \right. .$$
Ví dụ 2. Tìm toạ độ điểm $M'$ là đối xứng của điểm $M\left( { - 1;3} \right)$ qua đường thẳng $d:2x - y + 1 = 0.$
Bước 1. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên đường thẳng $d$. Từ ví dụ 1 ta có $H\left( {\frac{3}{5};\frac{{11}}{5}} \right).$
Bước 2. Vì $H$ là trung điểm của $MM'$ nên $$\left\{ \begin{array}{l} {x_H} = \frac{{{x_M} + {x_{M'}}}}{2}\\ {y_H} = \frac{{{y_M} + {y_{M'}}}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M}\\ {y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{M'}} = 2 \cdot \frac{3}{5} - \left( { - 1} \right)\\ {y_{M'}} = 2 \cdot \frac{{11}}{5} - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{M'}} = \frac{{11}}{5}\\ {y_{M'}} = \frac{7}{5} \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{11}}{5};\frac{7}{5}} \right).$$
 
Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 5 trong 1 đánh giá

Xếp hạng: 5 - 1 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật