Phương trình đường tròn

Thứ ba - 29/03/2016 22:01
Phương trình đường tròn.
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ xét đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( {a;b} \right)$ bán kính $R$. Điểm $M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)$ khi và chỉ khi $IM = R \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2}}  = R \Leftrightarrow {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}.$ Như vậy 


 

Phương trình đường tròn. Trong mặt phẳng $Oxy$, đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( {a;b} \right)$ bán kính $R$ có phương trình là $${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}.\;\;\;\left(  *  \right)$$

Ví dụ 1. Đường tròn có tâm $I\left( {1; - 2} \right)$ và bán kính $R = 3$ có phương trình là $${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = {3^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 3 = 0.$$

Bình luận 1. Như ở ví dụ 1, bằng cách khai triển, ta có thể biến đổi công thức $(*)$ về dạng ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + {a^2} + {b^2} - {R^2}.$ Đặt $c = {a^2} + {b^2} - {R^2}\;\;\;\left( { *  * } \right)$, lúc này phương trình đường tròn có dạng $${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0.\;\;\;\left( { *  *  * } \right)$$ Hiển nhiên lúc này từ $\left( { *  * } \right)$ ta suy ra ${R^2} = {a^2} + {b^2} - c \ge 0$, và đây cũng là điều kiện để một phương trình có dạng $\left( { *  *  * } \right)$ là phương trình đường tròn. 

Mệnh đề. Phương trình dạng ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ với ${a^2} + {b^2} - c \ge 0$ luôn là phương trình đường tròn có tâm $I\left( {a;b} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} .$

Ví dụ 2. Phương trình dạng ${x^2} + {y^2} + 2x - 6y + 6 = 0$ có $a =  - 1,b = 3,c = 6$ thoả ${a^2} + {b^2} - c = {\left( { - 1} \right)^2} + {3^2} - 6 = 4 > 0$ nên đây là phương trình đường tròn. Đường tròn này có tâm $I\left( { - 1;3} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2} - 6}  = \sqrt 4  = 2.$

Ví dụ 3. Phương trình dạng ${x^2} + {y^2} - 4x + 2y + 6 = 0$ có $a = 2,b =  - 1,c = 6$ không phải là phương trình đường tròn vì ${a^2} + {b^2} - c = {2^2} + {\left( { - 1} \right)^2} - 6 =  - 1 < 0.$

Bình luận 2. Đến đây, tôi tự đặt câu hỏi phương trình đường cong bậc hai $\left( { *  *  * } \right)$ nếu như có ${a^2} + {b^2} - c < 0$ là phương trình của parabol, hyperbol hay elip,...?
 

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật