Phương trình tham số của đường thẳng

Thứ sáu - 25/03/2016 18:17
Công thức chuyển đổi vector pháp tuyến và vector chỉ phương. Phương trình tham số của đường thẳng.
Phương trình tham số của đường thẳng. Trong mặt phẳng $Oxy$, đường thẳng $d$ đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và có vector chỉ phương $\vec u = \left( {a;b} \right)$ sẽ có phương trình tham số là $$\left\{ \begin{gathered}   x = {x_0} + at \hfill \\   y = {y_0} + bt, \hfill \\ \end{gathered}  \right.\;\;\;\;\;\;t \in \mathbb{R}.$$

Ví dụ 1. Xác định vector chỉ phương và $2$ điểm phân biệt thuộc đường thẳng $\left( {{d}} \right):\left\{ \begin{gathered}   x = 2 + 3t \hfill \\   y =  - 1 - t. \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

 
Giải. Vector chỉ phương của đường thẳng là ${\vec u} = \left( {3; - 1} \right).$
Cho ${t} = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}   {x} = 2 \hfill \\   {y} =  - 1 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Rightarrow {M_1}\left( {2; - 1} \right) \in d.$
Cho ${t} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}   {x} = 5 \hfill \\   {y} =  - 2 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Rightarrow {M_2}\left( {5; - 2} \right) \in d.$

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M\left( {2;3} \right)$ và có vector chỉ phương là $\vec u = \left( {1;4} \right).$
Giải. Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là $$\left\{ \begin{gathered}   x = 2 + t \hfill \\   y = 3 + 4t \hfill \\ \end{gathered}  \right.,t \in \mathbb{R}.$$
Ví dụ 3. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A\left( {2; - 3} \right)$ và $B\left( {3;2} \right)$.
Giải. Đường thẳng $d$ có vector chỉ phương là $\vec u = \overrightarrow {AB}  = \left( {1;5} \right)$ và đi qua $A\left( {2; - 3} \right)$ nên có phương trình là $$\left\{ \begin{gathered}   x = 2 + t \hfill \\   y =  - 3 + 5t \hfill \\ \end{gathered}  \right.,\;\;\;t \in \mathbb{R}.$$
Chuyển đổi giữa vector pháp tuyến và vector chỉ phương. Giả sử đường thẳng $d$ có vector pháp tuyến là $\vec n = \left( {A;B} \right)$. Khi đó vector $\vec u = \left( { - B;A} \right)$ vuông góc với $ \vec n$ vì $\vec n \cdot \vec u = A \cdot \left( { - B} \right) + B \cdot A = 0.$ Như vậy $\vec u = \left( { - B;A} \right)$ là một vector chỉ phương của $d$. Từ đây ta có công thức chuyển đổi giữa hai vector này như sau $$\vec n = \left( {A;B} \right) \Leftrightarrow \vec u = \left( { - B;A} \right).\;\;\;\;\;\;\; (*)$$ 

Ví dụ 4. Cho biết hai vector chỉ phương của đường thẳng $\left( {{d}} \right): 2x + 3y - 1 = 0.$
Giải. Từ phương trình của $d$ ta được vector pháp tuyến $\vec n = \left( {2;3} \right)$. Theo công thức chuyển đổi trên ta có một vector chỉ phương của $d$ là $\vec u = \left( { - 3;2} \right)$. Từ đây ta dễ dàng chọn được thêm một vector chỉ phương khác là $\vec u_1 =  - \vec u = \left( {3; - 2} \right).$

Ví dụ 5. Viết phương trình đường thẳng  $\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t\\ y =  - 1 - t \end{array} \right.$ về dạng tổng quát. 
Giải. Vector chỉ phương của đường thẳng là ${\vec u} = \left( {3; - 1} \right)$. Từ công thức $(*)$ ta suy ra một vector pháp tuyến của $d$ là $\vec n = \left( {1;3} \right).$

Thay  ${t} = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}   {x} = 2 \hfill \\   {y} =  - 1 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Rightarrow {M}\left( {2; - 1} \right) \in d.$

Từ đây ta được phương trình tổng quát của $d$ là $1 \cdot \left( {x - 2} \right) + 3 \cdot \left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y + 1 = 0.$
 

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 7 trong 3 đánh giá

Xếp hạng: 2.3 - 3 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc