Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Thứ ba - 29/03/2016 22:38
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua một điểm.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm. Tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$ tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)$ có phương trình $$\left( {{x_0} - a} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {{y_0} - b} \right)\left( {y - {y_0}} \right) = 0.$$

Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $C:{x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 4 = 0$ tại điểm ${M_0}\left( { - 1;5} \right).$
Giải. Ta có ${x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + {y^2} - 4y + 4 = 9 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9.$ Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại ${M_0}\left( { - 1;5} \right)$ là $$\left( { - 1 + 1} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( {5 - 2} \right)\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 5.$$


Phương trình tiếp tuyến của đường tròn kẻ từ một điểm ngoài đường tròn. Cho đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I,$ bán kính $R$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $\left( C \right).$  Đường thẳng $\Delta $ đi qua $M$ sẽ trở thành tiếp tuyến của $\left( C \right)$ nếu $$d\left( {I,\Delta } \right) = R.$$



 
\
Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm $M\left( {2;5} \right)$ của đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 3 = 0.$
 
Giải. Đường thẳng $x=2$ không là tiếp tuyến của đường tròn. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left( {2;5} \right)$ có hệ số góc $k$ có dạng $y = k\left( {x - 2} \right) + 5 \Leftrightarrow k\left( {x - 2} \right) - y + 5 = 0.$

Đường tròn đã cho có tâm $I\left( {1;\;2} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + 3}  = \sqrt 8 .$

Đường thẳng $\Delta $ trở thành tiếp tuyến của $\left( C \right)$ nếu $$d\left( {I,\Delta } \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {k\left( {1 - 2} \right) - 2 + 5} \right|}}{{\sqrt {1 + {k^2}} }} = \sqrt 8  \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {3 - k} \right)}^2}}}{{1 + {k^2}}} = 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} k = 1\\ k = \frac{1}{7} \end{array} \right..$$

Với $k = 1$ ta được tiếp tuyến ${\Delta _1}:y = x - 2.$
Với $k = \frac{1}{7}$ ta được tiếp tuyến ${\Delta _2}:y = \frac{1}{7}x - \frac{2}{7}.$
 
Bình luận. Trong bài toán này ta đã dùng đến lý thuyết "hệ số góc của đường thẳng", học sinh có thể xem lại ở bài trước. Nói chung, đường thẳng vuông góc với trục hoành sẽ có hệ số góc không xác định. Do đó để tránh trường hợp bị sót nghiệm, trong ví dụ trên, ta đã xét riêng đường thẳng đi qua điểm $M\left( {2;5} \right)$ và vuông góc với $Ox$ là đường thẳng $x=2$.
 

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

 

Tác giả bài viết: TT. Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 6 trong 2 đánh giá

Xếp hạng: 3 - 2 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật