Phương trình tổng quát của đường thẳng

Thứ sáu - 25/03/2016 16:20
Phương trình tổng quát của đường thẳng
Phương trình tổng quát của đường thẳng. Phương trình tổng quát của đường thẳng trong mặt phẳng $Oxy$ có dạng $$Ax + By + C = 0,$$ với $A$ và $B$ không đồng thời bằng $0$. Khi đó vector $\vec n = \left( {A;B} \right)$ là một vector pháp tuyến của đường thẳng.

Ví dụ 1. Hãy xác định hai vector pháp tuyến và hai điểm phân biệt của đường thẳng $\left( {{d}} \right): 2x + 3y - 1 = 0.$

Giải.  Từ phương trình của $d$ ta suy ra một vector pháp tuyến của $d$ là ${\vec n} = \left( {2;3} \right)$. Từ đây ta có thể chọn một vector pháp tuyến khác là ${{\vec n}_1} = 2 \cdot \vec n = \left( {4;6} \right).$

Để chọn được một điểm thuộc $d$, ta thay một giá trị ngẫu nhiên của $x$ vào phương trình của $d$ và tìm giá trị $y$ tương ứng 

Thay $x = 2$ vào phương trình của $d$ ta được $2 \cdot 2 + 3y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow A\left( {2;1} \right) \in d.$.

Tương tự, cho $x=5$ ta được $y=3$ ta được điểm $B\left( {5;3} \right) \in d.$

Một đường thẳng hoàn toàn xác định nếu ta biết một vector pháp tuyến và một điểm mà nó đi qua. 
 
Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng $ \Delta $ đi qua điểm ${M_0}\left( { - 1;2} \right)$ và có vector pháp tuyến $\vec n = \left( {1;3} \right)$.

Giải. Đường thẳng $ \Delta $ có vector pháp tuyến là $\vec n = \left( {1;3} \right)$ nên phương trình có dạng $1 \cdot x + 3 \cdot y + C = 0$. Do ${M_0}\left( { - 1;2} \right) \in \Delta $ nên $1 \cdot \left( { - 1} \right) + 3 \cdot 2 + C = 0 \Leftrightarrow C =  - 5.$ Vậy $$\Delta :x + 3y - 5 = 0.$$

 

Phuơng trình đường thẳng đi qua một điểm và có vector pháp tuyến cho trước. Đường thẳng đi qua điểm $M_0(x_0;y_0)$ và có vector pháp tuyến $\vec n = \left( {A;B} \right)$ sẽ có phương trình là $$A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) = 0.$$
Ví dụ 3. Viết phương trình đường thẳng $ \Delta $ đi qua điểm ${M_0}\left( { - 1;2} \right)$ và có vector pháp tuyến $\vec n = \left( {1;3} \right)$.
Giải. Đường thẳng $ \Delta $ có phương trình là $$1 \cdot \left( {x + 1} \right) + 3 \cdot \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 5 = 0.$$

Bình luận. Ví dụ 2 và ví dụ 3 là hai cách thường được sử dụng để viết phương trình đường thẳng khi biết vector pháp tuyến và một điểm mà đường thẳng đi qua. 

Ví dụ 4. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm ${M_0}\left( {3;1} \right)$ và có vector pháp tuyến là $\vec n = \left( { - 2;6} \right)$. 
Giải. Vector pháp tuyến của $d$ là $\vec n = \left( { - 2;6} \right) =  - 2\left( {1; - 3} \right).$ Ta chọn một vector khác có đoạ độ đơn giản hơn là ${{\vec n}_1} = \left( {1; - 3} \right)$. Khi đó phương trình của $\Delta$ là $$1 \cdot \left( {x - 3} \right) - 3\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y = 0.$$
 

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật