Bài toán thiết diện: vuông góc với một mặt

Chủ nhật - 06/03/2016 08:37
Xác định thiết diện vuông góc với một mặt phẳng cho trước
Trong bài này ta sẽ xét đến bài toán xác định thiết diện của hình chóp bị cắt bởi một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Ví dụ. Cho hình chóp $S.ABCD$  có  đáy $ABCD$  là hình vuông cạnh $a$,   $SA \bot \left( {ABCD} \right).$  Gọi $\left( \alpha  \right)$  là mặt phẳng chứa $AB$  vuông góc với $\left( {SCD} \right).$  Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi $\left( \alpha  \right).$

Bình luận.  Trong bài toán này ta chỉ cần tìm giao điểm của $\left( \alpha  \right)$  với hai cạnh $SC$  và $SD$.  Vì $\left( {SCD} \right) \bot \left( \alpha  \right)$  nên  chắc chắn $\left( {SCD} \right)$  sẽ chứa một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $\left( \alpha  \right).$  Dễ nghi ngờ đường thẳng đó chính là $SD$  vì ta đã có $SD \bot AB \subset \left( \alpha  \right).$  
Bây giờ giả sử $\left( \alpha  \right)$  cắt $SD$  tại $H$  Nếu  ta chọn $H$  sao cho $SD \bot AH$  thì lúc đó, kết hợp với $SD \bot AB,$  ta có $SD \bot \left( {ABH} \right)$. Suy ra $\left( {SCD} \right) \bot \left( {ABH} \right).$
Như vậy ta có $\left( {ABH} \right)$  chứa $AB$  và vuông góc với $\left( {SCD} \right).$  Điều này buộc $\left( {ABH} \right) \equiv \left( \alpha  \right).$  Vậy mấu chốt giúp ta xác định được $\left( \alpha  \right)$  chính là điểm $H$.
 
 
Lời giải. Trong tam giác $SAD$  kẻ $AH \bot SD.$                $\left( 1 \right)$
Theo định lý ba đường vuông góc ta có $SD \bot AB.$     $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)\& \left( 2 \right) \Rightarrow SD \bot \left( {ABH} \right) \Rightarrow \left( {SCD} \right) \bot \left( {ABH} \right).$                                                           
Vì $\left( {ABH} \right)$  chứa $AB$  và vuông góc với $\left( {SCD} \right)$  nên $\left( {ABH} \right) \equiv \left( \alpha  \right).$               
Do $\left( \alpha  \right) \subset AB\parallel CD$  nên $\alpha  \cap \left( {SCD} \right) = HK\parallel CD,K \in SC.$
Thiết diện cần tìm là hình thang $ABKH.$       
 
Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật