Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Chủ nhật - 06/03/2016 12:59
Định nghĩa đường vuông góc chung, đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Cách xác định đoạn vuông góc chung.




Định nghĩa. Cho hai đường thẳng $a$ và $b$  chéo nhau. Tồn tại duy nhất một đường thẳng $\Delta$ vuông góc và cắt cả hai đường thẳng này. Đường thẳng $\Delta$  được gọi là đường vuông góc chung của $a$ và $b$.
 
Giả sử $\Delta$  cắt $a$ và $b$ lần lượt tại $A$ và $ B $. Đoạn thẳng $AB$  được gọi là đoạn vuông góc chung của $a$ và $b$.




 
 
 



Ví dụ 1. Trong hình lập phương $ABCD \cdot A'B'C'D'.$ Vì $BB'$ vuông góc và cắt $AB$ và $B'C'$ nên $BB'$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $BB'$.

Tương tự $OO'$ là đoạn vuông góc chung của $AC$ và $B'D'$. mặt dù $BB'$ đồng thời vuông góc với $AC$ và $B'D'$ nhưng đây không phải là đoạn vuông góc chung vì $BB'$ chỉ cắt $B'D'$ mà không cắt $AC$.




Bình luận 1. Ví dụ 1 là một ví dụ dễ, vì mọi yếu tố hầu như đã có trên hình. Tuy nhiên, trong một vài trường hợp việc xác định đoạn vuông góc chung tương đối khó. Ta thường đi theo các bước sau khi cần xác định đường vuông góc chung $\Delta$ của hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$.
 
Bước 1. Dựng mặt phẳng $\left( P \right)$
 chứa $a$  và song song với $b$.
 
Bước 2. Dựng mặt phẳng $\left( Q \right)$
 chứa $a$  và vuông góc với $\left( P \right).$
 
Bước 3. Gọi $B = \left( Q \right) \cap b.$  Từ $B$  dựng $\Delta  \bot a$  tại $A$.
 

Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ $ABC \cdot A'B'C'$  có đáy $ABC$  là tam tam giác đều. Hình chiếu vuông góc của $A'$  lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$  là trung điểm $H$  của $AB.$  Xác định đoạn vuông góc chung của $AB$ và $CC'$.
Giải. Cách1. Theo  các bước như trên.
 
B1. Mặt phẳng $\left( {ABB'A'} \right)$ chứa $AB$ và song song với $CC'.$
B2. Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ chứa $AB$ và vuông góc với $\left( {ABB'A'} \right).$
B3. Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ cắt $CC'$ tại $C$. Đoạn $HC \bot AB.$
Vậy đoạn vuông góc chung của $AB$ và $CC'$ là $HC$.

Cách 2. Ta trực tiếp tìm đoạn thẳng vuông góc và cắt $AB$ và $CC'$. Ta đoán đó là $HC$. Rõ rằng $HC$ đã cắt $AB$ và $CC'$. Bây giờ ta chỉ cần chứng minh $HC$ vuông góc với hai đường thẳng này.

Từ giả thiết ta có $HC \bot AB$.              $\left( 1 \right)$
Mặt khác, $CC'\parallel \left( {ABCD} \right),$ mà $CH \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $CH \bot CC'.$             $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$  suy ra $HC$ là đoạn vuông góc chung cần tìm.
 
Bình luận 2. Cách 2 trở nên hiệu quả nếu như điều ta đoán ban đầu là đúng. Cách 1 tuy dài hơn, nhưng nó giúp ta  xác định chính xác đoạn vuông góc chung. Do vậy, trong quá trình tìm đoạn vuông góc chung, đầu tiên ta dùng Cách 1 để dự đoán chính xác đoạn vuông góc chung, sau đó dùng Cách 2 để  chứng minh đoạn vừa tìm được vuông góc với cả hai đường thẳng đã cho.
 


Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)


 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 13 trong 5 đánh giá

Xếp hạng: 2.6 - 5 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật