Góc giữa hai vector, góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Thứ ba - 01/03/2016 16:58
Góc giữa hai vector trong không gian. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian.

Góc giữa hai vector. Góc hợp bởi giữa hai vector $\vec a$ và $\vec b$ trong không gian, ký hiệu $\left( {\vec a,\vec b} \right),$ được xác định như sau
$ \bullet $ Từ một điểm bất kì trong không gian, dựng điểm $A$ sao cho $\overrightarrow {MA}  = \vec a,$ dựng điểm $B$ sao cho $\overrightarrow {MB}  = \vec b;$
$ \bullet $ Khi đó ta định nghĩa $\left( {\vec a,\vec b} \right) = \widehat {AMB}.$
 
Góc hợp bởi hai vector trong không gian nằm trong khoảng từ $0^o$ đến $180^o$. Nếu $\left( {\vec a,\vec b} \right) = {90^o}$ thì ta nói $\vec a$ và $\vec b$ vuông góc nhau, kí hiệu $\vec a \bot \vec b.$
 


Ví dụ 1. Cho hình hộp $ABCD.EFGH$ có $\widehat {BAD} = {60^0},{\text{ }}\widehat {HDC} = {45^o},ABCD$ là hình thoi. Khi đó ta có
$\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = {60^0}.$
$\left( {\overrightarrow {EF} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = {60^o}.$
$\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {120^o}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ $\left(  *  \right)$






 
Nhãn

Góc giữa hai đường thẳng. Góc hợp bởi hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian, ký hiệu $\left( {\widehat {a,b}} \right),$ được xác định như sau
$ \bullet $ Từ một điểm bất kì trong không gian, dựng hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ lần lượt song song với đường thẳng $a$ và $b$.
$ \bullet $ Khi đó ta định nghĩa góc hợp bởi giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ là góc hợp bởi hai đường thẳng $a$ và $b$.
 
Góc hợp bởi hai đường thẳng trong không gian nằm trong khoảng từ $0^o$ đến $90^o$. Nếu $\left( {\widehat {a,b}} \right) = {90^o}$ thì ta nói $a$ và $b$ vuông góc nhau, ký hiệu $a \bot b.$
 

Ví dụ 2. Với giả thiết như ví dụ 1 ta có
$\left( {\widehat {AB,AD}} \right) = {60^o}$;
$\left( {\widehat {EF,AD}} \right) = \left( {\widehat {AB,AD}} \right) = {60^0};$
$\left( {\widehat {BA,BC}} \right) = {60^0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ $\left(  **  \right)$








 
Bình luận. Bây giờ ta so sánh đẳng thức $\left(  *  \right)$ ở ví dụ 1 và $\left(  **  \right)$ ở ví dụ 2. Ở đây đường thẳng $BA$ và $BC$ lần lượt có vector chỉ phương là ${\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} }$. Như vậy góc giữa hai đường thẳng có thể không bằng với góc giữa hai vector chỉ phương của nó. Sau đây ta sẽ bàn luận vấn đề này.

Mối liên hệ giữa góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai vector chỉ phương. Trong không gian cho hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ lần lượt có vector chỉ phương là ${\vec u_1},{\vec u_2}$. Khi đó góc hợp bởi giữa hai đường thẳng $\alpha  = \left( {{d_1},{d_2}} \right)$ hoặc bằng $\hbox{(hình 1)}$ hoặc bù $\hbox{(hình 2)}$ với góc hợp bởi hai vector chỉ phương $\varphi  = \left( {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right)$.
 
Hình 1
gocgiuahaiduongthang 2
Hình 2












Từ đây ta cũng dễ dàng suy ra ${d_1} \bot {d_2} \Leftrightarrow {\vec u_1} \bot {\vec u_2}.$
Bài tập 
 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật