Sự đồng phẳng

Thứ ba - 01/03/2016 15:30
Sự đồng phẳng của các vector. Định nghĩa các vector đồng phẳng.


Định nghĩa. Trong không gian cho $3$ vector $\vec a,\vec b,\vec c.$ Từ một điểm $ O$ bất kỳ, ta xác định các điểm $A,B,C$ sao cho $$\overrightarrow {OA}  = \vec a,\overrightarrow {OB}  = \vec b,\overrightarrow {OC}  = \vec c.$$ Nếu $O,A,B,C$ cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói $\vec a,\vec b,\vec c$ đồng phẳng.

Như vậy các vector $\vec a,\vec b,\vec c$ đồng phẳng nếu các vector này cùng thuộc hoặc song song với một mặt phẳng nào đó.





 



Ví dụ 1. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $AB, AD, AA'$ sao cho $AM = MB,AN = \frac{1}{2}ND,AP = \frac{1}{3}PA'.$ Khi đó
 
Hiển nhiên $\overrightarrow {AB} ,$ $\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} $ đồng phẳng vì cùng thuộc mặt phẳng $ABCD$.
Các vector $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {AD} $ cũng đồng phẳng vì $\overrightarrow {AB} ,$ $\overrightarrow {AD} $ $ \subset \left( {ABCD} \right),{\text{  }}\overrightarrow {A'C'} \parallel \left( {ABCD} \right).$




 
Định lý. Trong không gian cho 3 vector $\vec a,\vec b,\vec c,$ trong đó $\vec a,\vec b$ không cùng phương. Khi đó $\vec a,\vec b,\vec c$ đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một cặp số thực $m,n$ sao cho $$\vec c = m\vec a + n\vec b.$$Thật vậy, ta phân tích $\vec c = {\vec c_1} + {\vec c_2}$ theo quy tắc hình bình hành sao cho ${\vec c_1},{\vec c_2}$ lần lượt có phương song song với $\vec a,\vec b.$ Khi đó tồn tại các số $m,n$ sao cho ${\vec c_1} = m\vec a,{\text{ }}{\vec c_2} = n\vec b.$ Từ đây suy ra $\vec c = {\vec c_1} + {\vec c_2} = m\vec a + n\vec b.$



Ví dụ 2. Bây giờ ta xét bài toán như đã cho ở ví dụ 1, ta sẽ chứng minh các vector $\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AN} $ đồng phẳng bằng cách dùng Định lý trên.
 
Ta có $\overrightarrow {A'C'}  = \overrightarrow {AC} $. Theo quy tắc hình bình hành thì $\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} $, từ đây suy ra $\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} $. Theo cách xác định hai điểm $M, N$ ở đề bài ta có $\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AD}  = 3\overrightarrow {AN} .$ Cuối cùng ta có $\overrightarrow {A'C'}  = \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {AM}  + 3\overrightarrow {AN}$, nghĩa là $\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AN} $ đồng phẳng.
 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 5 trong 1 đánh giá

Xếp hạng: 5 - 1 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật