Tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Thứ tư - 02/03/2016 17:10
Dùng tích vô hướng hai vector chỉ phương để tính góc giữa hai đường thẳng.
Dùng tích vô hướng hai vector chỉ phương để tính góc giữa hai đường thẳng. Trong không gian cho hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ lần lượt có vector chỉ phương là ${\vec u_1},{\vec u_2}$. Khi đó góc hợp bởi giữa hai đường thẳng $\alpha  = \left( {{d_1},{d_2}} \right)$ hoặc bằng $\hbox{(hình 1)}$ hoặc bù $\hbox{(hình 2)}$ với góc hợp bởi hai vector chỉ phương $\varphi  = \left( {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right)$.  
Hình 1
gocgiuahaiduongthang 2
Hình 2












Vì ${0^o} \leqslant \alpha  \leqslant {90^0}$ trong khi đó ${0^o} \leqslant \alpha  \leqslant {180^0}$ nên $$\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {{{\vec n}_1},{{\vec n}_2}} \right)} \right|. = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right|\left| {{{\vec n}_2}} \right|}}.$$ Đặc biệt $${d_1} \bot {d_2} \Leftrightarrow {{\vec n}_1} \bot {{\vec n}_2} \Leftrightarrow {{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2} = 0.$$

Ví dụ. Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ có độ dài cạnh là $a$. Tính góc giữa đường thẳng $AC$ và $DE$.
Giải. Vector chỉ phương của hai đường thẳng này lần lượt là ${\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {DE} }$. Ta có

$\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {DE}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DH} } \right) $
$= \underbrace {\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {DA} }_0 + \underbrace {\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {DH} }_0 + \underbrace {\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {DA} }_{ - {a^2}} + \underbrace {\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {DH} }_0 =  - {a^2}.$
$ \Rightarrow \cos \left( {\widehat {AC,DE}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {DE} } \right)} \right| = \frac{1}{2}.$
$\Rightarrow \left( {\widehat {AC,DE}} \right) = {60^o}.$

 
 
Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật