Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Thứ ba - 21/06/2016 02:45
Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị.
Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ cho hai đường cong $\left( {{C_1}} \right):y = f\left( x \right)$ và $\left( {{C_2}} \right):y = g\left( x \right)$. Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = g\left( x \right)$ là số giao điểm của hai đường cong $\left( {{C_1}} \right)$ và $\left( {{C_2}} \right)$.

Chẳng hạn như hình bên, hai đường cong $\left( {{C_1}} \right)$ và $\left( {{C_2}} \right)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ nên phương trình $f\left( x \right) = g\left( x \right)$ có hai nghiệm phân biệt, và nghiệm của phương trình này chính là $x_1$ và $x_2$, lần lượt là hoành độ của $A$ và $B$.

Bài toán Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị thường rơi vào các dạng sau đây:



Biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình dạng $f\left( x \right) = g\left( m \right).$
 
 Bước 1. Vẽ đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y = f\left( x \right)$; và đường thẳng $\Delta :y = g\left( m \right)$  là đường thẳng song song với $Ox$ và cắt $Oy$ tại điểm có tung độ là $g\left( m \right).$ 
 Bước 2. Kết luận số nghiệm của $\left( 1 \right):$   số nghiệm của $\left( 1 \right)$  là số giao điểm của $\left( C \right)$ và $\Delta .$

Ví dụ 1. Biện luận số nghiệm của phương trình ${x^3} - 6{x^2} + 9x + 1 - m = 0$ bằng đồ thị. 
Giải. Ta biến đổi tương đương ${x^3} - 6{x^2} + 9x + 1 = m{\text{         }}\left( 1 \right).$ Số nghiệm của $\left( 1 \right)$ là số giao điểm của đường cong $\left( C \right):y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 1$ và đường thẳng $\Delta :y = m.$

Khi $m$ thay đổi thì đường thẳng $\Delta$ sẽ dịch chuyển lên-xuống, luôn song song với $Ox$. Do đó ta có 

$\bullet$ $1 < m < 5$ thì $\Delta $ cắt $\left( C \right)$ tại ba điểm phân biệt nên $\left( 1 \right)$ có ba nghiệm phân biệt.

$\bullet$ $m=1$ hoặc $m=5$ thì  $\Delta $ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt nên $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt.

$\bullet$ $m<1$ hoặc $m>5$ thì  $\Delta $ cắt $\left( C \right)$ tại một điểm duy nhất nên $\left( 1 \right)$ có một nghiệm duy nhất.
 
Bình luận 1. Khi $m = 1$ thì đường thẳng $\Delta $  vừa tiếp xúc, vừa cắt $\left( C \right).$ Trong trường hợp này $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm, trong đó có một nghiệm kép và một nghiệm đơn. Nghiệm kép bi

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật