Đạo hàm

Thứ sáu - 12/02/2016 20:07
Định nghia đạo hàm hàm. Đạo hàm của một số hàm số cơ bản.
Đạo hàm. Cho  hàm số $f\left( x \right)$  xác định trên khoảng $\left( {a;b} \right)$  chứa ${x_0}.$  Giới hạn hữu hạn $\hbox{(nếu có)}$
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$$ được gọi là đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)$  tại ${x_0}.$  Ký hiệu $f'\left( {{x_0}} \right).$

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2} + 1$ tại ${x_0} = 2.$
Giải.   $$f'\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 1 - 5}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 2} \right) = 4.$$
 
Đạo hàm. Hàm số $f\left( x \right)$  được gọi là có đạo hàm trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ nếu $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại mọi điểm $x_0$ thuộc khoảng $\left( {a;b} \right)$.

Nếu hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ thì hàm số $f'\left( x \right)$ xác định tại mọi $x \in \left( {a;b} \right)$ được gọi là đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên khoảng $\left( {a;b} \right)$.

Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} $ trên tập xác định $\mathbb{R}$.
Giải. Với mọi ${x_0} \in \mathbb{R}$ ta có
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^3} - x_0^3}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2} \right) = 3x_0^2.$$ Vậy $f'\left( x \right) = 3{x^2}.$

 
Hình 1. Tiếp tuyến tại $M_0$

Ý nghĩa của đạo hàm.  Giá trị $f'\left( {{x_0}} \right)$  là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f\left( x \right)$  tại $x_0$.
Từ đây ta có, phương trình tiếp tuyến $T$ của hàm số $y=f\left( x \right)$  tại điểm có hoành độ $x_0$ là
$$y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\;\;$$

 










Dưới đây là đạo hàm của các hàm số cơ bản. Ta sẽ không chứng minh các công thức này mà chú trọng vào cách dùng.
 
Đạo hàm của các hàm số cơ bản. $$\begin{array}{l}
\left( 1 \right)\;\;\;\;\;C' = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\;\;\;\;\;{\left( x \right)^\prime } = 1.\\
\left( 3 \right)\;\;\;\;\;{\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n - 1}},n \in N.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 4 \right)\;\;\;\;{\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } =  - \frac{1}{{{x^2}}}.\\
\left( 5 \right)\;\;\;\;\;{\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 6 \right)\;\;\;\;{\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x.\\
\left( 7 \right)\;\;\;\;\;{\left( {\cos x} \right)^\prime } =  - \sin x.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 8 \right)\;\;\;\;{\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x.\\
\left( 9 \right)\;\;\;\;\;{\left( {\cot x} \right)^\prime } =  - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} =  - \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right).\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
\end{array}$$


 
Các quy tắc tính đạo hàm. Với $C$ là hằng số, $u\left( x \right)$ và $v\left( x \right)$ là các hàm số ta có      $$\begin{array}{l}
\left( a \right)\;\;\;\;\;\;\;{\left( {u + v} \right)^\prime } = u' + v'.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( b \right)\;\;\;\;\;\;\;{\left( {u - v} \right)^\prime } = u' - v'.\\
\left( b \right)\;\;\;\;\;\;\;{\left( {C \cdot u} \right)^\prime } = C \cdot u'\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {b'} \right)\;\;\;\;\;\;\;{\left( {u \cdot v} \right)^\prime } = u' \cdot v + v' \cdot u.\\
\left( c \right)\;\;\;\;\;\;{\left( {\frac{1}{v}} \right)^\prime } =  - \frac{{v'}}{{{v^2}}}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {c'} \right)\;\;\;\;\;\;\;{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u' \cdot v - v' \cdot u}}{{{v^2}}}.
\end{array}$$
Ví dụ 3. $$f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + x - 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = {\left( {{x^3}} \right)^\prime } - {\left( {{x^2}} \right)^\prime } + x' - 1' = 3{x^2} - 2x + 1.$$
Ví dụ 4. $$\begin{array}{l}
f\left( x \right) = 2{x^3} - 5{x^2} + 3x + 2 \Rightarrow f'\left( x \right) = {\left( {2{x^3}} \right)^\prime } - {\left( {5{x^2}} \right)^\prime } + {\left( {3x} \right)^\prime } + 2'\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 2{\left( {{x^3}} \right)^\prime } - 5{\left( {{x^2}} \right)^\prime } + 3{\left( x \right)^\prime } + 2' = 6{x^2} - 10x + 3.
\end{array}$$
Ví dụ 5. Áp dụng quy tắc $\left( {c'} \right)$
ta có $$\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} - 2x + 1}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }\left( {{x^3} - 2x + 1} \right) - {{\left( {{x^3} - 2x + 1} \right)}^\prime }\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^3} - 2x + 1} \right)}^2}}}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{2x\left( {{x^3} - 2x + 1} \right) - \left( {3{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^3} - 2x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^4} - 5{x^2} + 2x + 2}}{{{{\left( {{x^3} - 2x + 1} \right)}^2}}}.
\end{array}$$

Ví dụ 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f\left( x \right) = \sin x$ tại ${x_0} = \frac{\pi }{6}$.
Giải. Với ${x_0} = \frac{\pi }{6} \Rightarrow {y_0} = f\left( {{x_0}} \right) = \sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}.$
Áp dụng công thức $\left( 6 \right)$ ta có $$f'\left( x \right) = \cos x \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = \cos \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$$ Phương trình tiếp tuyến $$y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = \frac{{\sqrt 3 }}{2}x + \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 \pi }}{{12}}.$$

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

Tác giả bài viết: TT. Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật