Đồ thị hàm số: Hàm bậc ba

Thứ ba - 16/02/2016 04:15
Đồ thị hàm số. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Hàm số bậc ba.
Hàm số bậc ba. Có dạng $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d , a \ne 0$.
 
$\left( a \right)$ Tập xác định $D = \mathbb{R}.$
 
$\left( b \right)$ Giới hạn:
 
$\left( b_1 \right)$ Nếu $a>0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } a{x^3} + b{x^2} + cx + d =  \pm \infty .$
$\left( b_2 \right)$ Nếu $a<0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } a{x^3} + b{x^2} + cx + d =  \mp \infty .$

 
$\left( c \right)$ Cực trị:   Ta có $y' = 3a{x^2} + 2bx + c$. Vì $ a \ne 0 $ nên đây là một tam thức bậc hai, do đó sẽ có $3$ trường hợp xảy ra
$\left( c_1 \right)$ $y'$ có hai nghiệm phân biệt $x_1 \ne x_2$, khi đó $y'$ sẽ đổi dấu khi qua hai nghiệm này. Do đó hàm số có hai cực trị.

$\left( c_2 \right)$ $y'$ có một nghiệm kiép $x_0$, và $y'$ sẽ không đổi dấu khi đi qua $x_0$. Do đó trong trường hợp này hàm số không có cực trị.

$\left( c_3 \right)$ $y'$ vô nghiệm thì hàm số cũng không có cực trị.

 
$\left( d \right)$ Tiệm cận: Hàm bậc ba không có tiệp cận.

$\left( e \right)$ Điểm uốn - tâm đối xứng: Điểm uốn $I$, mà cũng là tâm đối xứng, có hoành độ là nghiệm của $y''$.

$\left( f \right)$  Tính đơn điệu: Tuỳ vào dấu của hệ số $a$ và nghiệm của $y'$ mà tính đơn điệu và đồ thị của hàm số bậc ba được chia ra $6$ trường hợp như sau

 
  $a>0$ $a<0$
$y'$ có
hai nghiệm phân biệt
$x_1$ và $x_2$
 
$y'$ có nghiệm kép $x_0$
$y'$ vô nghiệm  

Ví dụ 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x - 4.$
Giải. $ \bullet $  Tập xác định $D = \mathbb{R}.$
$ \bullet $  Giới hạn: $$\eqalign{
  & \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2{x^3} - 9{x^2} + 12x - 4} \right) =  + \infty ;  \cr
  & \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2{x^3} - 9{x^2} + 12x - 4} \right) =  - \infty . \cr} $$
$ \bullet $  Sự biến thiên: Ta có $y' = 6\left( {{x^2} - 3x + 2} \right).$ Suy ra $$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 \Rightarrow y = 1\\
x = 2 \Rightarrow y = 0
\end{array} \right.$$
$ \bullet $  Tiệm cận: Hàm số không có tiệm cận.
$ \bullet $  Bảng biến thiên
$ \bullet $  Cực trị: ${y_{CD}} = y\left( 1 \right) = 1;{y_{CT}} = y\left( 2 \right) = 0.$
$ \bullet $  Đồ thị: Ta có $y'' = 6\left( {3x - 2} \right)$. Suy ra $y'' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{2}.$ Do đó tâm đối xứng là $I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right).$

 

Form vẽ đồ thị:

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật