Đồ thị hàm số: Hàm chứa trị tuyệt đối

Thứ sáu - 19/02/2016 03:54
Đồ thị hàm số chứa trị tuyệt đối. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số chứa chị tuyệt đối. Công thức phát trị tuyệt đối.
Hàm chứa trị tuyệt đối. Xét hàm số dạng $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$. Giả sử hàm số có đồ thị là $\left( C \right)$. Ta có $$\left| {f\left( x \right)} \right| = \left\{ \begin{gathered}
  f\left( x \right)\,\,\,\,\,\,\hbox{nếu} \,\,f\left( x \right) \geqslant 0; \hfill \\
   - f\left( x \right)\,\,\,\hbox{nếu}\,\,f\left( x \right) < 0. \hfill \\
\end{gathered}  \right.$$ Từ đây suy ra $\left( C \right)$ là hợp của hai đồ thị $\left( {{C_1}} \right):y = f\left( x \right)$ với $f\left( x \right) \geqslant 0$ và $\left( {{C_2}} \right):y =  - f\left( x \right)$ với $f\left( x \right) < 0$.

Ví dụ 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $\left( C \right):y = \left| {x - 1} \right|.$
Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Ta có $$y = \left| {x - 1} \right| = \left\{ \begin{gathered}
  x - 1\,\,\hbox{nếu}x - 1 \geqslant 0; \hfill \\
   - \left( {x - 1} \right)\,\,\,\,\,\,\hbox{nếu} \,\,x - 1 < 0 \hfill \\
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow y = \left\{ \begin{gathered}
  x - 1\,\,\,\,\,\,\hbox{nếu} \,\,x \geqslant 1; \hfill \\
  1 - x\,\,\,\,\,\,\hbox{nếu} \,\,x < 1. \hfill \\
\end{gathered}  \right.$$ Suy ra $$y' = \left\{ \begin{gathered}
  1\,\;\;\;\;\;\;\;\hbox{nếu}\;\;\;x > 1; \hfill \\
   - 1\,\;\;\;\;\;\hbox{nếu}\;\;\;x < 1. \hfill \\
\end{gathered}  \right.$$ Hàm số không có đạo hàm tại $x=1$.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$.
Bảng biến thiên và đồ thị. Các bước vẽ đồ thị:

 
Bước 1. Vẽ đồ thị $\left( {{C_1}} \right):y = x - 1$ với $x \geqslant 1.$
Bước 2. Vẽ đồ thị $\left( {{C_2}} \right):y = 1 - x$ với $x \leqslant 1.$
Bước 3. Đồ thị $\left( C \right) = \left( {{C_1}} \right) \cup \left( {{C_2}} \right).$
 
Bảng biến thiên
Đồ thị

Ví dụ 2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $\left( C \right):y = \left| {{x^2} - 3x + 2} \right|.$
 
Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Ta có $$y = \left| {{x^2} - 3x + 2} \right| = \left\{ \begin{gathered}
  {x^2} - 3x + 2\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\hbox{nếu}\;\;\;\;{\text{ }}{x^2} - 3x + 2 \geqslant 0; \hfill \\
   - \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\,\;\;\;\;\;\,\hbox{nếu}\;\;\;\;{\text{ }}{x^2} - 3x + 2 < 0. \hfill \\
\end{gathered}  \right.$$ $$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\; = \left\{ \begin{gathered}
  {x^2} - 3x + 2\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\hbox{nếu}\;\;\;x \leqslant 1\;\;\;\hbox{hoặc}\;\;\; x\geqslant 2; \hfill \\
   - {x^2} + 3x - 2\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\hbox{nếu}\;\;\;\;{\text{1 <  }}x < 2.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \hfill \\
\end{gathered}  \right.$$ Suy ra
$$y' = \left\{ \begin{gathered}
  2x - 3\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\hbox{nếu}\;\;\;x < 1{\text{ }}\;\;\hbox{hoặc}\;x > 2; \hfill \\
   - 2x + 3\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\hbox{nếu}\;\;\;\;{\text{1 <  }}x < 2.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \hfill \\
\end{gathered}  \right.$$ $$y' = 0 \Leftrightarrow  - 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.$$


Bảng biến thiên và đồ thị. Các bước vẽ đồ thị:

 
Bước 1. Vẽ đồ thị $\left( {{C_1}} \right):y = {x^2} - 3x + 2$ với $x \leqslant 1\;\;\;\hbox{hoặc}\;\;\; x\geqslant 2.$
Bước 2. Vẽ đồ thị $\left( {{C_2}} \right):y =  - {x^2} + 3x - 2$ với $1<x<2$.
Bước 3. Đồ thị $\left( C \right) = \left( {{C_1}} \right) \cup \left( {{C_2}} \right).$

 
screen shot 2016 02 19 at 10 25 43
 

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 29 trong 8 đánh giá

Xếp hạng: 3.6 - 8 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

  • Trần Thị Nam Phương

    bạn ơi ở vd1 mình chưa hiểu từ chỗ suy ra đến đồng biến nghịch biến

      Trần Thị Nam Phương   02/08/2018 10:13
Mã bảo mật