Đồ thị hàm số: Hàm nhất biến

Thứ năm - 18/02/2016 16:38
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm nhất biến. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc nhất trên bậc nhất.
Hàm nhất biến. Có dạng $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}},\;\;ad \ne bc.$
 
$\left( a \right)$ Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{d}{c}} \right\}$.
 
$\left( b \right)$ Giới hạn và tiệm cận:
 
$\left( b_1 \right)$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{d}{c}} \right)}^ \pm }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{d}{c}} \right)}^ \pm }} \frac{{ax + b}}{{cx + d}} =  \pm \infty  \Rightarrow x =  - \frac{d}{c}$ là phương trình của tiệm cận đứng.
$\left( b_2 \right)$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \leftrightarrow  \pm \infty } \frac{{ax + b}}{{cx + d}} = \frac{a}{c} \Rightarrow y = \frac{a}{c}$ là phương trình của tiệm cận ngang.

 
$\left( c \right)$ Cực trị:   Ta có $y' = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  a&b \\
  c&d
\end{array}} \right|}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}} = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}$ có dấu không đổi nên hàm số không có cực trị.

$\left(  e \right)$Trục đối xứng: Giao điểm của hai tiệm cận $I\left( { - \frac{d}{c};\frac{a}{c}} \right)$ là tâm đối xứng.

$\left( f \right)$  Tính đơn điệu: Tuỳ vào dấu của $y'$ mà tính đơn điệu và đồ thị của hàm nhất biến có $2$ trường hợp sau

 
$y' < 0$ $y' > 0$
 
Nhãn

Vi dụ 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{{4x + 1}}{{2x - 1}}$.
$ \bullet $ Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}.$
$ \bullet $ Giới hạn:
$\left. \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} \left( {\frac{{4x + 1}}{{2x - 1}}} \right) =  + \infty  \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} \left( {\frac{{4x + 1}}{{2x - 1}}} \right) =  - \infty  \hfill \\
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ là phương trình tiệm cận đứng;
$\left. \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{4x + 1}}{{2x - 1}}} \right) = \frac{4}{2} = 2 \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{4x + 1}}{{2x - 1}}} \right) = \frac{4}{2} = 2 \hfill \\
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow y = 2$ là phương trình tiệm cận ngang.
$ \bullet $ Sự biến thiên: Ta có $$y' = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  4&1 \\
  2&{ - 1}
\end{array}} \right|}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{4\left( { - 1} \right) - 2.1}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} =  - \frac{6}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D.$$ Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)$ và $\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right).$
$ \bullet $ Cực trị: Hàm số không có cực trị.
$ \bullet $ Tâm đối xứng: Giao điểm $I\left( {\frac{1}{2};2} \right)$ của hai tiệm cận là tâm đối xứng.
$ \bullet $ Bảng biến thiên:

Form vẽ đồ thị hàm nhất biến 


 
Bài tập 

Nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung Tâm Cùng Học Toán 




 

on Scribd

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 5 trong 1 đánh giá

Xếp hạng: 5 - 1 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

  • Võ Tấn Phát

    Đồ thị y'>0 thì x= - d/c mà ad, TCĐ lúc nào chả thế.

      Võ Tấn Phát   14/06/2018 11:39
    • @Võ Tấn Phát đúng rồi, thầy viết nhầm Cảm ơn Phát.

        Trung Tâm Cùng Học Toán   19/06/2018 22:01
  • Lê Anh Quân

    add xét dấu bản biến thiên là dựa vào điều kiện nào vậy ? , hi

      Lê Anh Quân   12/05/2016 04:23
    • @Lê Anh Quân Chào bạn Quân, dựa vào dấu của đạo hàm y'.

        Trung Tâm Cùng Học Toán   11/06/2016 08:20
Mã bảo mật