Đồ thị hàm số: Hàm trùng phương

Thứ năm - 18/02/2016 06:09
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm trùng phương. Hàm trùng phương.
Hàm trùng phương. Có dạng $ y = a x^4+b x^2+ c, a \ne 0$.
 
$\left( a \right)$ Tập xác định $D = \mathbb{R}.$
 
$\left( b \right)$ Giới hạn:
 
$\left( b_1 \right)$ Nếu $a>0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {a{x^4} + b{x^2} + c} \right) =  + \infty ;$
$\left( b_2 \right)$ Nếu $a<0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {a{x^4} + b{x^2} + c} \right) =  - \infty .$

 
$\left( c \right)$ Cực trị:   Ta có $y' = 4a{x^3} + 2bx = 2x\left( {\underbrace {2a{x^2} + b}_{g\left( x \right)}} \right).$ Suy ra $$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
2a{x^2} + b = 0
\end{array} \right.$$ Vì $ a \ne 0 $ nên $g\left( x \right)$ là một tam thức bậc hai. Số cực trị của hàm số sẽ phụ thuộc vào số nghiệm của $g\left( x \right)$. Có các trường hợp sau
$\left( c_1 \right)$  $g\left( x \right)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1 \ne x_2$ và khác $0$, khi đó $y'$ có $ 3$ nghiệm phân biệt và đổi dấu khi qua ba nghiệm này. Do đó hàm số có ba cực trị.

$\left( c_2 \right)$  $g\left( x \right)$ có một nghiệm kiép $x = 0$. Khi đó và $y'$ nhận $x = 0$ làm nghiệm bội ba, và do đó $y'$ đổi dấu khi đi qua nghiệm này. Vậy hàm số có một cực trị là $x = 0$.

$\left( c_3 \right)$  $g\left( x \right)$ vô nghiệm. Khi đó $x = 0$ là nghiệm đơn duy nhất của $y'$, và do đó khi đi qua nghiệm này $y'$ đổi dấu khi. Vậy hàm số có một cực trị là $x = 0$.

 
$\left( d \right)$ Tiệm cận: Hàm trùng phương không có tiệp cận.

$\left(  e \right)$Trục đối xứng: Đồ thị nhận $Oy$ làm trục đối xứng.

$\left( f \right)$  Tính đơn điệu: Tuỳ vào dấu của hệ số $a$ và nghiệm của $y'$ mà tính đơn điệu và đồ thị của hàm trùng phương được chia ra $4$ trường hợp như sau

 
  $a>0$ $a<0$
$y'$ có
ba nghiệm phân biệt
$x_1<0 $, $x_2 =0$ và $x_3>0$
$y'$ một nghiệm
 $x_0 = 0$
 

Ví dụ 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau $y = {x^4} - 2{x^2} + 2$.
Giải. $ \bullet $ Tập xác định $D = \mathbb{R}.$
$ \bullet $  Giới hạn: $$\begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{x^4} - 2{x^2} + 2} \right) =  + \infty ; \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^4} - 2{x^2} + 2} \right) =  + \infty . \hfill \\
\end{gathered} $$
$ \bullet $  Cực trị: $$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
  x = 0 \Rightarrow y = 2 \hfill \\
  x =  \pm 1 \Rightarrow y = 1 \hfill \\
\end{gathered}  \right.$$  $${y_{CD}} = y\left( 0 \right) = 2;{y_{CT}} = y\left( { \pm 1} \right) = 1.$$ $ \bullet $  Bảng biến thiên

 
 

Form vẽ đồ thị

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật