Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

Thứ bảy - 13/02/2016 14:54
Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm.
  Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm.  
tieptuyentaimotdiem
Hình 1. Tiếp tuyến đi qua $A$
Để viết phương tình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị $\left( C \right)$ đi qua điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right) \notin \left( C \right)$ ta có thể làm theo các bước sau 
 
Bước 1. Gọi $k$ là hệ số góc của $\Delta$. Khi đó $\Delta$ có phương trình dạng là $\left( \Delta \right):\;\;\;y = k\left( {x - {x_A}} \right) + {y_A}$.

Bước 2. Giải hệ $\left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) = k\left( {x - {x_A}} \right) + {y_A}\\ f'\left( x \right) = k \end{array} \right..$ Nghiệm của hệ là toạ độ tiếp điểm.

Bước 3. Thay $k$ tìm được ở Bước 2 vào dạng phương trình $\Delta$ có được ở Bước 1.


Ví dụ 1. $$f\left( x \right) = 2x + 1$$ là hảm 

Để học tốt dạng toán này, học sinh cần xem lại chuyên đề  điều kiện tiếp xúc.
 
Ví dụ 1. Viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1$ đi qua điểm $A\left( {1; - 1} \right).$
 
 

 
Giải. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A\left( {1; - 1} \right)$ và có hệ số góc là $k$ có dạng $$\left( \Delta \right):\;\;\;y = k\left( {x - 1} \right) - 1.$$ 
$\Delta$ trở thành tiếp tuyến, tức là tiếp xúc với $\left( C \right)$ khi hệ sau có nghiệm $$\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - 3x + 1 = k\left( {x - 1} \right) - 1\;\;\;\left( 1 \right)\\
3{x^2} - 3 = k\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)
\end{array} \right.$$ Thay $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được
$${x^3} - 3x + 1 = \left( {3{x^2} - 3} \right)\left( {x - 1} \right) - 1 \Leftrightarrow  - 2{x^3} + 3{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - \frac{1}{2}\\
x = 1
\end{array} \right.$$ Với $x = 1 \Rightarrow y =  - 1,k = 0  $. Suy ra tiếp tuyến $$\left( {{\Delta_1}} \right):\;\;\;y =  - 1$$ và tiếp điểm ${M_1}\left( {1; - 1} \right)$.

Với $x =  - {1 \over 2} \Rightarrow y = {{19} \over 8},k =  - {9 \over 4}  $. Suy ra tiếp tuyến $$\left( {{\Delta_2}} \right):\;\;\;y =  - {9 \over 4}\left( {x + {1 \over 2}} \right) + {{19} \over 8} \Leftrightarrow y =  - {9 \over 4}x + {5 \over 4}$$ và tiếp điểm ${M_2}\left( { - {1 \over 2};{{19} \over 8}} \right)$.



 
Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ $\left( C \right) $ $f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^2} + 1$ đi qua điểm $A\left( {2;1} \right).$
 

 
Giải. Ta có $f'\left( x \right) = 4{x^3} - 8x.$ Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left( {2;1} \right)$ và có hệ số góc $k$ có phương trình dạng $$\left( \Delta  \right):y = k\left( {x - 2} \right) + 1.$$ Đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với $\left( C \right)$ khi hệ $$\left\{ \begin{array}{l} {x^4} - 4{x^2} + 1 = k\left( {x - 2} \right) + 1{\rm{          }}\left( 1 \right)\\ 4{x^3} - 8x = k{\rm{                                }}\left( 2 \right) \end{array} \right.$$ có ít nhất một nghiệm. Thay $k=4{x^3} - 8x$ ở $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được $${x^4} - 4{x^2} + 1 = \left( {4{x^3} - 8x} \right)\left( {x - 2} \right) + 1 \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right)\left( {3{x^2} - 2x - 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 0\\ x =  - \frac{4}{3} \end{array} \right..$$ Với $x = 2 \Rightarrow y = 1$, ta được tiếp điểm ${M_1}\left( {2;1} \right)$, hệ số góc ${k_1} = 16$ và tiếp tuyến $\left( {{\Delta _1}} \right):y = 16x - 31.$

Với $x = 0 \Rightarrow y = 1$, ta được tiếp điểm ${M_2}\left( {0;1} \right)$, hệ số góc ${k_2} = 0$ và tiếp tuyến $\left( {{\Delta _2}} \right):y = 1.$

Với $x = - \frac{4}{3} \Rightarrow y = - \frac{239}{81}$, ta được tiếp điểm ${M_3}\left( {- \frac{4}{3};- \frac{239}{81}} \right)$, hệ số góc ${k_3} = \frac{32}{27}$ và tiếp tuyến $\left( {{\Delta _3}} \right):y = \frac{{32}}{{27}}x - \frac{{37}}{{27}}.$


Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ $\left( C \right) $ $f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}}$ đi qua điểm $A\left( {5;-1} \right).$
 
 
Giải. Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left( {5;-1} \right)$ và có hệ số góc $k$ có phương trình dạng $$\left( \Delta  \right):y = k\left( {x - 5} \right) - 1.$$ Đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với $\left( C \right)$ khi hệ $$\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} = k\left( {x - 5} \right) - 1{\rm{          }}\left( 1 \right)\\ \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = k{\rm{                        }}\left( 2 \right) \end{array} \right.$$ có ít nhất một nghiệm. Thay $k= \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} $ ở $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được $$\frac{{2x - 1}}{{x - 2}} = \frac{{ - 3\left( {x - 5} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x =  - 1\\ x = 3 \end{array} \right..$$ Với $x = -1 \Rightarrow y = 1$, ta được tiếp điểm ${M_1}\left( {-1;1} \right)$, hệ số góc ${k_1} =- \frac{1}{3}$ và tiếp tuyến $\left( {{\Delta _1}} \right): y =  - \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}.$

Với $x = 3 \Rightarrow y = 5$, ta được tiếp điểm ${M_2}\left( {3;5} \right)$, hệ số góc ${k_2} = -3$ và tiếp tuyến $\left( {{\Delta _2}} \right):y = -3x+14.$
 
Ví dụ 4. Tìm điểm $A$ thuộc $Ox$ để từ đó kẻ được $3$ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số $\left( C \right):y = {x^3} + 3{x^2}.$
 
 
Minh hoạ khi $a=\frac{1}{2}$
Giải. Điểm $A$ thuộc $Ox$ nên toạ độ có dạng $A\left( {a;0} \right)$. Giả sử tiếp tuyến $T$ kẻ từ $A$ có hệ số góc $k$, suy ra $$\left( T \right):\;\;\;y = k\left( {x - a} \right).$$ Khi đó $T$ tiếp xúc với $\left(  *  \right)\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} + 3{x^2} = k\left( {x - a} \right){\rm{          }}\left( 1 \right)\\
3{x^2} + 6x = k{\rm{                                }}\left( 2 \right)
\end{array} \right.$
Thay $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được $${x^3} + 3{x^2} = \left( {3{x^2} + 6x} \right)\left( {x - a} \right) \Leftrightarrow x\left[ {\left( {{x^2} + 3x} \right) - \left( {3x + 6} \right)\left( {x - a} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
  - 2{x^2} + 3\left( {a - 1} \right)x + 6a = 0\;\;\;\;\;\;\left( 3 \right)
\end{array} \right.$$ Từ $A$ kẻ được $3$ tiếp tuyến đến đồ thị $ \Leftrightarrow $ HPT $\left(  *  \right)$ có $3$ nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow $ PT $\left(  3  \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $0$. 
$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\Delta _g} > 0\\
g\left( 0 \right) \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left[ {3\left( {a - 1} \right)} \right]^2} - 4\left( { - 2} \right)6a > 0\\
6a \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
a <  - 3\\
a >  - \frac{1}{3}
\end{array} \right.\\
a \ne 0
\end{array} \right.$$ Vậy những điểm $A\left( {a;0} \right)$, với $a <  - 3$ hoặc $a >  - \frac{1}{3}$, $a \ne 0$ sẽ kẻ đươc $3$ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số.

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
 

 

Tác giả bài viết: TT. Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 33 trong 9 đánh giá

Xếp hạng: 3.7 - 9 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

  • Trung Tâm Cùng Học Toán

    Chào Hùng, nếu điểm A thuộc đồ thị (C) thì lý thuyết này vẫn áp dụng được. Tuy nhiên, nếu bạn áp dụng lý thuyết Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thì sẽ gọn hơn. Bạn xem ở đây: http://cunghoctoan.net/toan-trung-hoc-pho-thong/khao-sat-ham-so/phuong-trinh-tiep-tuyen-tai-mot-diem-90.html

      Trung Tâm Cùng Học Toán   07/04/2017 16:42
  • Hùng

    dạ cho e hỏi, nếu điểm A thuộc (C) mình vẫn áp dụng được phải không ạ ??? .........Tại e thấy phần lý thuyết là A không thuộc (C); nhưng trong ví dụ 2 thì A lại thuộc (C) ạ. Em cảm ơn !!!!

      Hùng   05/04/2017 11:07
Mã bảo mật