Tìm giá trị tham số $m$ để hàm số đồng biến / nghịch biến trên một khoảng cho trước

Chủ nhật - 19/06/2016 05:59
Tìm giá trị tham số $m$ để hàm số đồng biến / nghịch biến trên một khoảng cho trước
Trong bài viết này, sẽ đề cập đến bài toán "Tìm giá trị của ham số $m$ để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước. Và chủ yếu ta thao tác trên hàm bậc ba và hàm nhất biến. Học sinh cần xem lại các bài dưới đây:

1. Dấu của tam thức bậc hai;
2. Hàm số đơn điệu;
3. Các định lý so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với số $\alpha$.


Hàm bậc ba. Xét hàm bậc ba $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d, a \ne 0$. Hàm số xác định trên $\mathbb {R}$.

Ta có $y' = 3a{x^2} + 2bx + c.$ Sự đơn điệu của hàm số phụ thuộc vào dấu của $y'$. Như vậy có $3$ trường hợp xảy ra 
TH1: $y'$ vô nghiệm $ \Leftrightarrow {{\Delta '}_{y'}} < 0.$ Bảng xét dấu của $y'$ như sau 
 
     $x$ $- \infty$                                                                                                                $+ \infty$
$y' $                                           cùng dấu với $a$             

Trong trường hợp này, tức là khi $ {\Delta '}_{y'} < 0$, ta có:
$\bullet$ Nếu $a<0$ thì $y'<0$ với mọi $x \in \mathbb {R}$ $ \Rightarrow $ hàm số nghich biến trên $\mathbb{R}$.
$\bullet$ Nếu $a>0$ thì $y'>0$ với mọi $x \in \mathbb {R}$ $ \Rightarrow $ hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
 
TH2: $y'$ có nghiệm kép, giả sử là $x_0$, $ \Leftrightarrow {{\Delta '}_{y'}} = 0.$ Bảng xét dấu của $y'$ như sau 
 
     $x$ $- \infty$                                                $x_0$                                                                   $+ \infty$
$y' $             cùng dấu với $a$                   $0$                  cùng dấu với $a$         
 
Trong trường hợp này, tức là khi $ {\Delta '}_{y'} = 0$, ta có:
$\bullet$ Nếu $a<0$ thì $y'\leqslant 0$ với mọi $x \in \mathbb {R}$ $ \Rightarrow $ hàm số nghich biến trên $\mathbb{R}$.
$\bullet$ Nếu $a>0$ thì $y'\geqslant 0$ với mọi $x \in \mathbb {R}$ $ \Rightarrow $ hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
 
TH3: $y'$ có hai nghiệm phân biệt, giả sử là $x_1, x_2$, $ \Leftrightarrow {{\Delta '}_{y'}} > 0.$ Bảng xét dấu của $y'$ như sau
 
     $x$ $- \infty$                                  $x_1$                                             $x_2$                                  $+ \infty$
$y' $         cùng dấu với $a$        $0$             trái dấu với $a$         $0$       cùng dấu với $a$

Trong trường hợp này, tức là khi $ {\Delta '}_{y'} > 0$, ta có:
$\bullet$ Nếu $a<0$ thì hàm số đồng biến trong khoảng $\left( {{x_1};{x_2}} \right)$; nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;{x_1}} \right)$ và $\left( {{x_1}; + \infty } \right)$.
$\bullet$ Nếu $a>0$ thì hàm số đồng biến trong các khoảng $\left( { - \infty ;{x_1}} \right)$ và $\left( {{x_1}; + \infty } \right)$; nghịch biến trong khoảng $\left( {{x_1};{x_2}} \right)$.
 
Từ TH1 và TH2 ta có 
 
Mệnh đề 1. Hàm số bậc ba $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ 
  • $\bullet$ đồng biến trên $\mathbb{R} $ $ \Leftrightarrow y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}   a > 0 \hfill \\   {{\Delta '}_{y'}} \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right.;$ 
  • $\bullet$ nghịch biến trên $\mathbb{R} $ $ \Leftrightarrow y' \leqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}   a < 0 \hfill \\   {{\Delta '}_{y'}} \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right..$ 


Ví dụ 1. Xác định $m$ để hàm số $y = {x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)x + 9$ đồng biến trên $\mathbb{R} $.
 
 
Giải. Ta có $y' = 3{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 1;{\text{  }}{\Delta '_{y'}} = {\left( {m + 1} \right)^2} - 3\left( {{m^2} - 1} \right) =  - 2{m^2} + 2m + 4.$
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} $ $ \Leftrightarrow $ $y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}   3 > 0 \hfill \\   {{\Delta '}_{y'}} \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}   3 > 0 \hfill \\    - 2{m^2} + 2m + 4 \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}   m \leqslant  - 1 \hfill \\   m \geqslant 2 \hfill \\ \end{gathered}  \right..$
 
 
Ví dụ 2. Xác định $m$ để hàm số $y = \frac{{{m^2} - 1}}{3}{x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} - x$ nghịch biến trên $\mathbb{R} $.
 

 
Giải. Ta có $y' = \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 1;{\text{    }}{\Delta '_{y'}} = {\left( {m + 1} \right)^2} + {m^2} - 1 = 2{m^2} + 2m.$.
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R} $ $ \Leftrightarrow $ $y' \leqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}   {m^2} - 1 < 0 \hfill \\   2{m^2} + 2m \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}    - 1 < m < 1 \hfill \\    - 1 \leqslant m \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow  - 1 < m \leqslant 0.$

Ví dụ 3. Xác định $m$ để hàm số $y = 2{x^3} - 3\left( {3m + 1} \right){x^2} + 12m\left( {m + 1} \right)x + 1$ đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right).$

 
Giải. Ta có $y' = 6{x^2} - 6\left( {3m + 1} \right)x + 12m\left( {m + 1} \right);$
${{\Delta '}_{y'}} = {\left[ { - 3\left( {3m + 1} \right)} \right]^2} - 6 \cdot 12m\left( {m + 1} \right) = 9{\left( {m - 1} \right)^2} \geqslant 0,\forall m \in \mathbb{R}.$
Phương trình có hai nghiệm 
$$\begin{array}{l} {x_1} = \frac{{3\left( {3m + 1} \right) + 3\left( {m - 1} \right)}}{6} = 2m;\\ {x_2} = \frac{{3\left( {3m + 1} \right) - 3\left( {m - 1} \right)}}{6} = m + 1. \end{array}$$ Trong hai nghiệm này ta chưa biết nghiệm nào nhỏ hơn.

TH1: ${x_1} \le {x_2} \Leftrightarrow m \le 1{\rm{   }}\left(  *  \right).$. Lúc này bảng xét dấu của $y'$ như sau 
     $x$ $- \infty$                            $2m$                               $m+1$                                      $+ \infty$
$y' $                     $+$                     $0$                 $-$                $0$                      $+$
  
Từ bảng xét dấu của $y'$ ta suy ra hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;2m} \right)$ và $\left( {m + 1; + \infty } \right)$. Do đó để hàm số đồng biến trên $\left( {2; + \infty } \right)$ thì khoảng này phải là con của $\left( { - \infty ;2m} \right)$ hoặc $\left( {m + 1; + \infty } \right)$. Trường hợp đầu không thể xảy ra, do đó ta phải có $\left( {2; + \infty } \right) \subseteq \left( {m + 1; + \infty } \right).$ Điều này tương đương $m + 1 \le 2 \Leftrightarrow m \le 1.$ Giao lại với $\left(  *  \right)$ ta được $m \le 1.$

TH2: ${x_1} \ge {x_2} \Leftrightarrow m \ge 1{\rm{   }}\left(  **  \right)$. Lập luận tương tự ta được $\left( {2; + \infty } \right) \subseteq \left( {2m; + \infty } \right) \Leftrightarrow 2m \le 2 \Leftrightarrow m \le 1.$ Giao lại với $\left(  **  \right)$ ta được $m=1$.

Cuối cùng, hợp cả hai trường hợp ta được $m \le 1.$
 
Bình luận. Ở Ví dụ 2 mọi chuyện trở nên thuận lợi khi ta có thể "khai căn"  ${{\Delta '}_{y'}}$. Tuy nhiên, trong trường hợp không khai căn được biệt thức ${{\Delta '}_{y'}}$ ta vẫn có một công cụ khác: Các định lý so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với số $\alpha$.

Ví dụ 4. Xác định $m$ để hàm số $y = {x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)x + 9$ nghịch biến trên khoảng $\left( {-1;0} \right).$
 

 
Giải. Ta có Ta có $y' = 3{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 1$. Vì $y'$ là một tam thức bậc hai có hệ số cao nhất là 3 > 0 nên muốn tồn tại khoảng nghịch biến thì buộc $y'$  phải có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ và khoảng nghịch biến lúc này là $\left( {{x_1};{x_2}} \right)$. Như vậy để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {-1;0} \right)$ thì khoảng này phải là con của $\left( {{x_1};{x_2}} \right)$. Nghĩa là $y'$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thoả $${x_1} \le  - 1 < 0 \le {x_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3y'\left( 0 \right) \le 0\\ 3y'\left( { - 1} \right) \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 1 \le 0\\ {m^2} - 2m \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}  - 1 \le m \le 1\\ 0 \le m \le 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m \le 1.$$
 
Ví dụ 5. Xác định $m$ để hàm số $y = {x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)x + 9$ đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right).$

 
Giải. Ta có $y' = 3{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 1;{\rm{  }}{\Delta '_{y'}} = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 3\left( {{m^2} - 1} \right) =  - 2{m^2} + 2m + 4.$

TH1. $y'$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $ \Leftrightarrow  - 2{m^2} + 2m + 4 \le 0 \Leftrightarrow m \le  - 1$ hoặc $m \ge 2.$       $\left( 1 \right)$

Trong trường hợp này $y' \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, và do đó cũng đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right).$

TH2. $y'$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow  - 1 < m < 2.$ Theo định lý Vi-et ta có $S = {x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3}.$ Lúc này bản xét dấu của $y'$ như sau 
 
     $x$ $- \infty$                            $x_1$                               $x_2$                                      $+ \infty$
$y' $                   $+$                   $0$                 $-$                $0$                      $+$
  
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ khi khoảng này là con của $\left( {{x_2}; + \infty } \right).$ Nghĩa là $y'$ phải có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thoả ${x_1} < {x_2} \le 1.$ Các định lý so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với số $\alpha$, điều này tương đương $$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' > 0\\ 3y'\left( 1 \right) \ge 0\\ \frac{S}{2} < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}  - 1 < m < 2\\ 3\left( {{m^2} - 2m} \right) \ge 0\\ \frac{{m + 1}}{3} < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}  - 1 < m < 2\\ m \le 0{\rm{   hoac   }}m \ge 2\\ m < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 < m \le 0.{\rm{     }}\left( 2 \right)$$ Hợp $\left( 1 \right)\& \left( 2 \right)$ ta được $m \le 0$ hoặc $m \ge 2.$
 
Ví dụ 6. Xác định $m$ để hàm số $y = {x^3} + m{x^2} + \left( {{m^2} - 6} \right)x + m + 1$ nghịch biến trên một khoảng bằng $2$.
 

Giải. Ta có $y' = 3{x^2} + 2mx + \left( {{m^2} - 6} \right)$. 

Vì $y'$ là một tam thức bậc hai có hệ số cao nhất là 3 > 0 nên muốn tồn tại khoảng nghịch biến thì buộc $y'$  phải có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ $ \Leftrightarrow {{\Delta '}_{y'}} > 0 \Leftrightarrow  - 2{m^2} + 18 > 0 \Leftrightarrow  - 3 \le m \le 3.$ Theo định lý Vi-et ta có $${x_1} + {x_2} =  - \frac{{2m}}{3};{\rm{    }}{x_1}{x_2} = \frac{{{m^2} - 6}}{3}.$$ Lúc này khoảng nghịch biến là $\left( {{x_1};{x_2}} \right)$. Như vậy yêu cầu bài toán tương đương $$\begin{array}{l} \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{\rm{ }}{x_1}{x_2} = 4\\ {\rm{                   }} \Leftrightarrow {\left( { - \frac{{2m}}{3}} \right)^2} - 4\frac{{{m^2} - 6}}{3} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m =  - \frac{3}{{\sqrt 2 }}\\ m = \frac{3}{{\sqrt 2 }} \end{array} \right.. \end{array}$$ Cả hai giá trị này điều được nhận. 
 

Hàm nhất biến. Xét hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}},  ad \ne bc.$ Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{d}{c}} \right\}$.
 

 
Ta có $$y' = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}   a&b \\   c&d \end{array}} \right|}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}} = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}.$$

Với điều kiện $ad \ne bc$ thì $y' \ne 0$ với mọi $x \ne  - \frac{d}{c}.$ Từ đây ta có 

 
Mệnh đề 2. Hàm nhất biến $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}},  ad \ne bc$
  • $\bullet$ đồng biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi $y' > 0$ với mọi $x \ne  - \frac{d}{c}$;
  • $\bullet$ nghịch biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi $y' < 0$ với mọi $x \ne  - \frac{d}{c}$.

Ví dụ 7. Xác định $m$ để hàm số $y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}$
a. đồng trên các khoảng xác định.
b. nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;0} \right).$
 

 
Giải. Tập xác định $D = \left( { - \infty ; - m} \right) \cup \left( { - m; + \infty } \right).$
Ta có $y' = \frac{{{m^2} - 4}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}.$

a. Hàm số đồng  biến trên $D$ khi và chỉ khi $$y' > 0 \Leftrightarrow \frac{{{m^2} - 4}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}   m <  - 2 \hfill \\   m > 2 \hfill \\ \end{gathered}  \right..$$ 
b. Đầu tiên, hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó nếu $y' < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow  - 2 < m < 2.$ ${\text{    }}\left( 1 \right)$

Lúc này, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ nếu $$\left( { - 1;0} \right) \subseteq \left( { - \infty ;m} \right) \cup \left( {m; + \infty } \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}   \left( { - 1;0} \right) \subseteq \left( { - \infty ;m} \right) \hfill \\   \left( { - 1;0} \right) \subseteq \left( {m; + \infty } \right) \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}   m \geqslant 0 \hfill \\   m \leqslant  - 1 \hfill \\ \end{gathered}  \right.{\text{           }}\left( 2 \right)$$ Giao các điều kiện $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ với nhau ta được $ - 2 < m \leqslant  - 1$ hoặc $0 \leqslant m < 2.$


Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

Tác giả bài viết: TT. Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 18 trong 4 đánh giá

Xếp hạng: 4.5 - 4 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật