Tìm $m$ để hàm số có cực trị

Thứ ba - 16/02/2016 04:42
Bài toán cực trị có chứa tham số. Các dạng toán cực trị có tham số.
Trong phần này, ta sẽ học các dạng toán liên quan đến cực trị của hàm số có chưa tham số $m$. Chẳn hạn như, tìm tham số $m$ để hàm số có cực trị, không có cực trị, có $1$ cực trị,....

Công cụ chính vẫn là mệnh đề sau đây

 

Mệnh đề. Cho hàm số $f\left( x \right) $ trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ chưa điểm $x_0$. Nếu khi đi qua $x_0$ mà $f'\left( x \right)$ đổi dấu thì hàm số đạt cực trị tại $x_0$. Cụ thể, theo chiều từ trái sang phải
  • Nếu $f'\left( x \right)$ đổi từ $\left(  -  \right)$ thành $\left(  +  \right)$ thì $f\left( x \right) $ đạt cực tiểu tại $x_0$;
  • Nếu $f'\left( x \right)$ đổi từ $\left( +  \right)$ thành $\left(  -  \right)$ thì $f\left( x \right) $ đạt đại tiểu tại $x_0$.
 

Để học tốt mục này, học sinh cần xem lại các định lý về dấu của tam thức bậc hai.

Ví dụ 1. Tìm $m$ để hàm số $y = {x^3} - 3\left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {2{m^2} - 3m + 1} \right)x - m\left( {m - 1} \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$ có hai cực trị.
Giải. Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Ta có $$y' = 3{x^2} - 6\left( {m - 1} \right)x + 2{m^2} - 3m + 1.$$
Đây là một tam thức bậc hai nên nếu như nó có 2 nghiệm phân biệt, $y'$ sẽ đổi dấu liên tục khi đi qua hai nghiệm này. Do đó yêu cầu bài toán tương đương $y'$ có hai nghiệm phân biệt $$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  a \ne 0 \hfill \\
  \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 3\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) > 0 \hfill \\
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  3 \ne 0 \hfill \\
  m < 1 \vee m > 2 \hfill \\
\end{gathered}  \right.$$
Vậy với $m<1$ hoặc $m>2$ thì hàm số đã cho có hai cực trị.

 
Ví dụ 2. Tìm $m$ để hàm số $y = {x^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 2m} \right)x + 4$  có đúng $1$ cực trị.
Giải. Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Ta có $$y' = 3{x^2} - 2\left( {2m + 1} \right) + \left( {{m^2} + 2m} \right)$$
Vì đây là tam thức bậc hai nên nếu như nó có 1 nghiệm duy nhất thì nghiệm đó là nghiệm kép, và lúc này $y'$ sẽ không đổi dấu khi đi qua nghiệm kép này. Do đó hàm số không thể có một cực trị duy nhất. Vậy không tồn tại $m$ thoả yêu cầu đề bài.

 
Bình luận. Như vậy từ lý thuyết về dấu và nghiệm của tam thức bậc hai, ta suy ra hàm bậc ba nếu xét về số lượng cực trị chỉ có hai trường hợp: hoặc không có cực trị nào cả, hoặc có hai cực trị.

Ví dụ 3. Tìm $m$ để hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x - 2m + 3$ có cực trị.
Hướng dẫn. Từ bình luận trên ta suy ra yêu cầu của đề bài sẽ tương đương với bài toán tìm $m$ để hàm số có hai cực trị. Cách giải tương tự Ví dụ 1.
 
Ví dụ 4. Tìm $m$ để hàm số $y = {x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} + 7m + 2} \right)x - 2m\left( {m + 2} \right)$ không có cực trị.
Giải. Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Ta có $y' = 3{x^2} - 6\left( {m + 1} \right)x + 2\left( {{m^2} + 7m + 2} \right).$
Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi $y'$ vô nghiệm $$ \Leftrightarrow {{\Delta '}_{y'}} < 0 \Leftrightarrow {\left[ {3\left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 3 \cdot 2\left( {{m^2} + 7m + 2} \right) < 0 \Leftrightarrow 3\left( {{m^2} - 8m - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
  m < 4 - \sqrt {17}  \hfill \cr
  m > 4 + \sqrt {17}  \hfill \cr}  \right..$$

Ví dụ 5. Tìm $m$ để hàm số $y = {x^4} + 8m{x^3} + 3\left( {1 + 2m} \right){x^2} - 4$ có $3$ cực trị.
Giải. Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Ta có $$y' = 4{x^3} + 24m{x^2} + 6\left( {1 + 2m} \right)x = 2x\left[ {2{x^2} + 12mx + 3\left( {1 + 2m} \right)} \right].$$ Suy ra $$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
  x = 0 \hfill \cr
  \underbrace {2{x^2} + 12mx + 3\left( {1 + 2m} \right)}_{g\left( x \right)} = 0. \hfill \cr}  \right.$$ Hàm số đã cho có $3$ cực trị khi $\Leftrightarrow$ $y'$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ $g\left( x \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $0$ $$ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
  {{\Delta '}_g} > 0 \hfill \cr
  g\left( 0 \right) \ne 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
  {\left( {6m} \right)^2} - 2 \cdot 3\left( {1 + 2m} \right) > 0 \hfill \cr
  3\left( {1 + 2m} \right) \ne 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
  6\left( {6{m^2} - 2m - 1} \right) > 0 \hfill \cr
  m \ne  - {1 \over 2} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
  \left[ \matrix{
  m < {{1 - \sqrt 7 } \over 6} \hfill \cr
  m > {{1 + \sqrt 7 } \over 6} \hfill \cr}  \right. \hfill \cr
  m \ne  - {1 \over 2} \hfill \cr}  \right..$$

Ví dụ 6. Tìm $m$ để hàm số $y = {x^4} + 4m{x^3} + 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 1$ có cực tiểu mà không có cực đại.
Giải. Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Ta có $y' = 4{x^3} + 12m{x^2} + 6\left( {m + 1} \right)x = 2x\left[ {2{x^2} + 12mx + 3\left( {m + 1} \right)} \right].$ Suy ra $$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
\underbrace {2{x^2} + 12mx + 3\left( {m + 1} \right)}_{g\left( x \right)} = 0.
\end{array} \right.$$
Vì $y'$ là một đa thức bậc $3$ nên nếu như có $3$ nghiệm đơn thì nó sẽ đổi dấu liên tục khi đi các nghiệm; lúc đó hàm số sẽ có $3$ cực trị, trong đó chắc chắn sẽ có cực đại. Dó đó ta loại bỏ trường hợp này.

Trường hợp nữa là $y'$ chỉ có $2$ nghiệm. Nếu trường hợp này xảy ra thì sẽ có một nghiệm bội và một nghiệm đơn, và khi đi qua nghiệm bội $y'$ không đổi dấu. Vì hệ số cao nhất của $y'$ là $ 4 >0 $ nên trong trường hợp này nghiệm bội chính là cực tiểu, và hàm không có cực đại. Do $x=0$ là một nghiệm của $y'$ nên có hai trường hợp nhỏ xảy ra

 
$\left( a \right)$    $x=0$ là nghiệm bội hai  $\Leftrightarrow$ $g\left( x \right)$ phải có $2$ nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm $x_1 =0$ và nghiệm $x_2 \ne 0$ $\Leftrightarrow$ $g\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow 3\left( {m + 1} \right) \Leftrightarrow m = -1.$ Bảng biến thiên trong trường hợp này như sau
$\left( b \right)$   $x=0$ là nghiệm đơn $\Leftrightarrow$ $g\left( x \right)$ có nghiệm kép $x_0$ khác $0$ $$ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
  {{\Delta '}_g} = 0 \hfill \cr
  g\left( 0 \right) \ne 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
  {\left( {6m} \right)^2} - 2 \cdot 3\left( {m + 1} \right) = 0 \hfill \cr
  3\left( {m + 1} \right) \ne 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
  \left[ \matrix{
  m =  - {1 \over 3} \hfill \cr
  m = {1 \over 2} \hfill \cr}  \right. \hfill \cr
  m \ne  - 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
  m =  - {1 \over 3} \hfill \cr
  m = {1 \over 2} \hfill \cr}  \right..$$ Bảng biến thiên cho trường hợp này như sau
 
Trường hợp cuối là $y'$ có một nghiệm duy nhất là $x=0$. Lại có hai trường hợp nhỏ xảy ra
 
$\left( c \right)$    $ x=0 $ là nghiệm đơn duy nhất $\Leftrightarrow$ $g\left( x \right)$ vô nghiệm $$ \Leftrightarrow {{\Delta '}_g} < 0 \Leftrightarrow {\left( {6m} \right)^2} - 2 \cdot 3\left( {m + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow  - {1 \over 3} < m < {1 \over 2}.$$

$\left( d \right)$    $ x=0 $ là nghiệm bội ba $\Leftrightarrow$ $g\left( x \right)$ có nghiệm kép $x_0 = 0$ $$ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
  {{\Delta '}_g} = 0 \hfill \cr
  g\left( 0 \right) = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
  {\left( {6m} \right)^2} - 2 \cdot 3\left( {m + 1} \right) = 0 \hfill \cr
  3\left( {m + 1} \right) = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
  \left[ \matrix{
  m =  - {1 \over 3}\;\;\;\left( l \right) \hfill \cr
  m = {1 \over 2}\;\;\;\;\;\left( l \right) \hfill \cr}  \right. \hfill \cr
  m =  - 1 \hfill \cr}  \right.$$ Vậy không có $m$ nào thoả trong trường hợp này.

 
Hợp lại các trường hợp này ta có các giá trị cần tìm của $m$ là $ - \frac{1}{3} \le m \le \frac{1}{2}$ hoặc $m=-1$.
 
Bình luận. Đối với hàm bậc bốn mà không có dạng trùng phương thì những bài toán liên quan đến cực trị thường phức tạp. Khái niệm nghiệm đơn, nghiệm bội chẵn và bội lẻ học sinh nên xem lại ở lý thuyết nghiệm của đa thức bậc cao. Nhắc lại rằng, đa thức khi đi qua nghiệm bội bậc lẻ thì đổi dấu, còn nghiệm bội bậc chẵn thì không. Chẳn hạn,

Đa thức $h\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^3}{\left( {x - 3} \right)^2}$ có $3$ nghiệm là $x = 1,\;\;x = 2,\;\;x = 3$. Trong đó $x=1$ là nghiệm đơn, $x=2$ là nghiệm bội ba, $x=3$ là nghiệm bội hai. Và bảng xét dấu của $h\left( x \right) $ như sau


 

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 15 trong 3 đánh giá

Xếp hạng: 5 - 3 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật