Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Chủ nhật - 07/02/2016 11:18
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Phương trình quy được về bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Khi giải phương trình lượng giác dạng này chú ý là $- 1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ và $- 1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ để đặt điều kiện cho phù hợp.

Ví dụ 1. Giải phương trình ${\sin ^2}x - 4\sin x + 3 = 0\,\,\,\left( 1 \right)$
Giải. Đặt $t = \sin x,\,\, - 1 \leqslant t \leqslant 1,$ khi đó $$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
  t = 1\,\,\,\,\left( n \right) \hfill \\
  t = 3\,\,\,\,\left( l \right) \hfill \\
\end{gathered}  \right.$$ Với $t = 1 \Leftrightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi .$

 
Ví dụ 2. Giải phương trình ${\tan ^2}x - 4\tan x + 3 = 0\,\,\,\left( 2 \right)$
Giải. Điều kiện $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi .$
Đặt $t = \tan x,$ ta có $$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
  t = 1\, \hfill \\
  t = 3 \hfill \\
\end{gathered}  \right.$$ Với $t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi .$
Với $t = 3 \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi ,{\text{ }}\alpha  = \arctan 3.$

 
Ví dụ 3. Giải phương trình $3{\cos ^2}x - 4\sin x - 4 = 0.$
Giải. Trước tiên ta dùng công thức ${\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x$ để biến đổi phương trình về dạng bậc hai đối với $\sin x$
$$\begin{array}{l}
3{\cos ^2}x - 4\sin x - 4 = 0 \Leftrightarrow 3\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - 4\sin x - 4 = 0\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow 3{\sin ^2}x + 4\sin x + 1 = 0.\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x =  - 1\\
\sin x =  - \frac{1}{3}
\end{array} \right.
\end{array}$$

$ \bullet \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ;$
$ \bullet \sin x =  - \frac{1}{3} = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
  x = \alpha  + k2\pi  \hfill \\
  x = \pi  - \alpha  + k2\pi  \hfill \\
\end{gathered}  \right.,\;\;\alpha  = \arcsin \frac{1}{3}.$

 
Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Chú ý: Việc đăng lại bài viết trên ở website hoặc các phương tiện truyền thông khác mà không ghi rõ nguồn http://nukeviet.vn là vi phạm bản quyền

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật