Phương trình đẳng cấp bậc cao

Chủ nhật - 07/02/2016 13:02
Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc cao.
Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc cao. Cũng giống như phương trình đẳng cấp bậc hai, phương trình lượng giác đẳng cấp bậc cao có thể giải như sau: Xét hai trường hợp
TH1: $\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1$, thay vào PT xem có thoả hay không.
TH2. $\cos x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,$ ta chia hai vế của PT cho luỹ thừa cao nhất của phương trình đối với $\cos x$ để đưa về phương trình bậc cao theo $\tan x$.

 
Ví dụ 1. Giải phương trình ${\cos ^3}x - 4{\sin ^3}x - 3\cos x{\sin ^2}x + \sin x = 0{\rm{    }}\left(  *  \right)$
 
Giải. Ta xét hai trường hợp
TH1: $\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 1\\
\sin x =  - 1
\end{array} \right..$
Với $\cos x = 0,\sin x = 1$, thay vào $\left(  *  \right)$ ta được $\left(  *  \right) \Leftrightarrow  - 4 + 1 = 0$, vô lý.
Với $\cos x = 0,\sin x =  - 1$, thay vào $\left(  *  \right)$ ta được $\left(  *  \right) \Leftrightarrow 4 - 1 = 0$, vô lý.
Vậy $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ không là nghiệm của $\left(  *  \right)$.

TH2: $\cos x \ne 0,$ chia hai vế của $\left(  *  \right)$ cho ${\cos ^3}x$ ta được $$\begin{array}{l}
{\rm{     }}1 - 4{\tan ^3}x - 3{\tan ^2}x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 0\\
 \Leftrightarrow 1 - 4{\tan ^3}x - 3{\tan ^2}x + \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow 4{\tan ^3}x + 2{\tan ^2}x - 2 = 0.\\
 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi .
\end{array}$$
Kết hợp cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình là $x = \frac{\pi }{4} + k\pi .$

 


Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 5 trong 1 đánh giá

Xếp hạng: 5 - 1 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật