Phương trình lượng giác có điều kiện

Chủ nhật - 07/02/2016 13:29
Phương trình lượng giác có điều kiện. Cách giao điều kiện của phương trình lượng giác.
Phương trình lượng giác có điều kiện. Những phương trình lượng giác có chứa hàm $\tan x$, $\cot x$, có ẩn ở mẫu, có ẩn trong căn,... thì ta cần đặt điều kiện. Và khi giải xong ta biểu diễn điều kiện và nghiệm để loại nghiệm.

Ví dụ. Giải phương trình $\frac{{\cos x - \sin 2x}}{{2{{\cos }^2}x - \sin x - 1}} = \sqrt 3 {\rm{      }}\left( 1 \right)$.

 
Giải. Điều kiện $2{\cos ^2}x - \sin x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + \sin x - 1 \ne 0$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sin x \ne  - 1\\
\sin x \ne \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne  - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;{\rm{  }}x \ne \frac{\pi }{6} + k2\pi ;{\rm{  }}x \ne \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi .$
Khi đó ta có
$$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \cos x - \sin 2x = \sqrt 3 \left( {2{{\cos }^2}x - \sin x - 1} \right) \Leftrightarrow \cos x - \sin 2x = \sqrt 3 \left( {\cos 2x - \sin x} \right)\\
{\rm{    }} \Leftrightarrow \cos x + \sqrt 3 \sin x = \sqrt 3 \cos 2x + \sin 2x \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\\
{\rm{    }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}
\end{array} \right..
\end{array}$$

 
ptluonggiaccodieukien
Hình 1. Giao nghiệm

Bây giờ biễu diển nghiệm và điều kiện lên cùng một đường tròn lượng giác, xem lại cách biễu diễn ở đây.

Điều kiện được biễu diễn bởi dấu $ \times $,
Nghiệm của phương trình được biễu diễn bởi dấu $\bullet$, những điểm bị trùng với dấu $ \times $ sẽ bị loại.
 
Như vậy có điểm bị loại bỏ, cuối cùng nghiệm của phương trình là họ góc lượng giác được biểu diễn bởi điểm $M$, đó là $$x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi .$$

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 8 trong 4 đánh giá

Xếp hạng: 2 - 4 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật