Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc hai

Chủ nhật - 07/02/2016 12:27
Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc hai
Phương trình đẳng cấp bậc hai. Là phương trình lượng giác có dạng $$a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x +  = d\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$$
Cách giải 1. Dùng các công thức hạ bậc và công thức nhân đôi
$${\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2};{\rm{  }}{\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2};\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x.$$
Thay vào $\left( 1 \right)$ ta được phương trình bậc nhất đối với $\sin 2x$ và $\cos 2x$.

Cách giải 2. Xét hai trường hợp
TH1: $\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1$, thay vào $\left( 1 \right)$ xem có thoả hay không.
TH2. $\cos x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,$ ta chia hai vế của $\left( 1 \right)$ cho $\cos x$ để đưa về phương trình bậc $2$ theo $\tan x$.

Ví dụ 1. Giải phương trình $2{\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x - 2 = 0\,\,\,\left(  *  \right)$
Giải. Cách 1. $\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow 1 - \cos 2x + \frac{1}{2}\sin 2x + 3\frac{{1 + \cos 2x}}{2} - 2 = 0\\
\,\,\,\,\,\,{\rm{ }}\, \Leftrightarrow \sin 2x + \cos 2x + 1 = 0\\
{\rm{     }} \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + 1 = 0\\
{\rm{    }} \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\
{\rm{    }} \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\\
{\rm{   }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
2x + \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
2x = \pi  + k2\pi
\end{array} \right.\\
{\rm{   }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + k\pi
\end{array} \right.{\rm{   }}
\end{array}$

Cách 2. Ta xét $2$ trường hợp
TH1: Với $\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1$ thoả $\left(  *  \right)$ nên $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ là nghiệm của $\left(  *  \right)$.
TH2: Với $\cos x \ne 0$, chia hai vế của $\left(  *  \right)$ cho ${\cos ^2}x$ ta được $$\begin{array}{l}
\left(  *  \right) \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + \tan x + 3 - \frac{2}{{{{\cos }^2}x}} = 0\\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + \tan x + 3 - 2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = 0\\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x =  - 1\\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \tan x = \tan \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi .
\end{array}$$ Kết hợp cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình là $x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi $ hoặc $x = \frac{\pi }{2} + k\pi .$

 
 
Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 5 trong 1 đánh giá

Xếp hạng: 5 - 1 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật