Phép đối xứng tâm

Thứ năm - 24/03/2016 04:49
Phép đối xứng tâm. Công thức toạ độ của phép đối xứng tâm.
Phép đối xứng tâm. Cho điểm $I$. Phép biến hình biến điểm $I$ thành chính nó, biến mỗi điểm $M$ khác $I$ thành điểm $M'$ sao cho $I$ là trung điểm của $MM'$ được gọi là phép đối xứng tâm $I$.

Phép đối xứng tâm $I$ ký hiệu là ${D_I}.$ 

Ta viết ${D_I}\left( M \right) = M'$ để chỉ phép đối xứng tâm $I$ biến điểm $M$ thành điểm $M'$. 

Từ định nghĩa ta dễ dàng suy ra ${D_I}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'}  =  - \overrightarrow {IM} .$

Các tính chất của phép đối xứng tâm. Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tam giác thành tam giác đã cho, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.


 


Đối xứng qua gốc toạ độ. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm $M\left( {x;y} \right).$ Khi đó phép cho ảnh qua phép đối xứng tâm $O\left( {0;0} \right)$ là $${D_O}\left( M \right) = M'\left( { - x; - y} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left(  *  \right)$$

Bình luận 1. Trong mặt phẳng $Oxy$, để tìm ảnh của một điểm qua một phép đối xứng tâm $O$, thì theo theo công thức $(*)$, ta chỉ cần đổi dấu của các toạ độ của điểm đó. 

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng $Oxy$, ảnh của điểm $A\left( {1; - 2} \right)$ qua phép đối xứng tâm $D_O$, với $O$ là gốc toạ độ, là $A'\left( { - 1;2} \right)$.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng $Oxy$, tìm phương trình đường thẳng $\Delta '$ là ảnh của đường thẳng $\Delta :2x + 3y - 1 = 0$ qua phép đối xứng tâm $D_O$.
 
Giải. Theo công thức $\left(  *  \right)$ thì phương trình của $\Delta '$ là $$\Delta ':2\left( { - x} \right) + 3\left( { - y} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow  - 2x - 3y - 1 = 0.$$
dinhnghia 13
Nhãn
Công thức toạ độ của phép đối xứng tâm. Trong mặt phẳng $Oxy$, toạ độ của điểm $M'\left( {x';y'} \right)$ là ảnh của điểm $M\left( {x;y} \right)$ qua phép đối xứng tâm ${D_{{I_0}}}$, với ${I_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ được cho bởi công thức $$\left\{ \matrix{   x' = 2{x_0} - x \hfill \cr   y' = 2{y_0} - y \hfill \cr}  \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
Bình luận 2. Công thức $\left(  **  \right)$ có được là nhờ vào sự kiện $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MM'$.

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, tìm phương trình của đường thẳng $d'$ là ảnh của đường thẳng $\left( d \right):x + 2y - 3 = 0$ qua phép đối xứng tâm $I\left( {0; - 1} \right).$
Giải. Lấy ngẫu nhiên điểm $M\left( {x;y} \right) \in d,{\rm{  }}$ và giả sử $M\left( {x';y'} \right) = {D_I}\left( M \right),$ hiển nhiên ta có $M' \in d'$. Từ công thức $\left(  **  \right)$ ta có $$\left\{ \begin{array}{l} x = 2{x_I} - x'\\ y = 2{y_I} - y' \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x =  - x'\\ y =  - 2 - y' \end{array} \right..$$ Vì điểm $ \in \left( d \right):x + 2y - 3 = 0$ nên $$ - x' + 2\left( { - 2 - y'} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow x' + 2y' + 7 = 0.$$ Đẳng thức cuối cùng này chứng tỏ đường thẳng $d'$ có phương trình là $x + 2y + 7 = 0.$
 
Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 3 trong 2 đánh giá

Xếp hạng: 1.5 - 2 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật   

Những tin mới hơn

Những tin cũ hơn